Mathos AI | Calculateur de probabilités : 3 événements

Le concept de base du calcul des probabilités pour 3 événements

Que sont les calculs de probabilités pour 3 événements ?

Le calcul des probabilités impliquant trois événements consiste à déterminer la probabilité qu'un ou plusieurs événements se produisent parmi trois événements possibles. Un 'événement', en termes de probabilité, est simplement un ensemble de résultats d'une expérience aléatoire. Nous voulons comprendre comment trouver les chances que ces événements se produisent, soit individuellement, ensemble ou dans des combinaisons spécifiques.

Exemples d'événements :

• Event A : Lancer un dé et obtenir un 2.
• Event B : Lancer une pièce de monnaie et obtenir pile.
• Event C : Tirer une bille verte d'un sac.

Lorsque nous discutons du calcul des probabilités avec trois événements, nous considérons des scénarios comme :

• Quelle est la chance que l'événement A ou l'événement B ou l'événement C se produise ?
• Quelle est la chance que l'événement A et l'événement B et l'événement C se produisent tous ?
• Quelle est la chance que l'événement A se produise sachant que l'événement B et l'événement C se sont déjà produits ?

Pour résoudre ces problèmes, nous utilisons des formules spécifiques et devons déterminer si les événements sont indépendants (un événement n'affecte pas les autres) ou dépendants (un événement affecte les autres) et s'ils sont mutuellement exclusifs (ne peuvent pas se produire en même temps).

Comment effectuer un calcul de probabilités pour 3 événements

Guide étape par étape

Voici une ventilation de la façon d'aborder les calculs de probabilités avec trois événements, ainsi que des exemples :

1. Définissez vos événements

Identifiez clairement les trois événements avec lesquels vous travaillez. Attribuez-leur des étiquettes comme A, B et C.

Exemple :

• A = Tirer un as d'un jeu de cartes.
• B = Obtenir un 4 sur un dé à six faces.
• C = Faire tourner une roulette avec 3 sections égales (rouge, bleu, vert) et atterrir sur vert.

2. Déterminez la probabilité de chaque événement individuel

Calculez la probabilité que chaque événement se produise seul.

• P(A) : Probabilité de l'événement A
• P(B) : Probabilité de l'événement B
• P(C) : Probabilité de l'événement C

Exemple (Suite de l'exemple ci-dessus) :

• P(A) = 4/52 = 1/13 (Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes).
• P(B) = 1/6 (Il y a un seul 4 sur un dé à six faces).
• P(C) = 1/3 (Une section verte sur trois).

3. Déterminez les relations entre les événements

Les événements sont-ils :

• Indépendants ? Le résultat de l'un n'affecte pas les autres. (par exemple, les lancers de pièces, les lancers de dés).
• Dépendants ? Le résultat de l'un modifie les probabilités des autres. (par exemple, tirer des cartes sans remplacement).
• Mutuellement exclusifs ? Ils ne peuvent pas se produire en même temps. (par exemple, obtenir un 1 et un 6 sur un seul lancer de dé).

4. Appliquez la formule appropriée

C'est là que cela devient spécifique. Voici les formules clés :

A. Probabilité de A ou B ou C (Union d'événements)

Ceci calcule la probabilité qu'au moins un des événements se produise.

• Cas général (les événements NE sont PAS mutuellement exclusifs) :

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \text{ and } B) - P(A \text{ and } C) - P(B \text{ and } C) + P(A \text{ and } B \text{ and } C)$$

Explication : Nous additionnons les probabilités individuelles, soustrayons les probabilités des intersections de chaque paire d'événements (pour éviter le double comptage), puis rajoutons la probabilité de l'intersection des trois événements (car elle a été soustraite trop de fois).

• Cas particulier (les événements SONT mutuellement exclusifs) :

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

Explication : Étant donné que les événements ne peuvent pas se produire en même temps, les probabilités d'intersection sont nulles.

Exemple (Cas général) :

Considérez le lancer d'un dé équitable à six faces. Soit :

• A = Obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6).
• B = Obtenir un nombre supérieur à 3 (4, 5 ou 6).
• C = Obtenir un 6.

Alors :

• P(A) = 3/6 = 1/2
• P(B) = 3/6 = 1/2
• P(C) = 1/6
• P(A and B) = P(Obtenir un 4 ou un 6) = 2/6 = 1/3
• P(A and C) = P(Obtenir un 6) = 1/6
• P(B and C) = P(Obtenir un 6) = 1/6
• P(A and B and C) = P(Obtenir un 6) = 1/6

Par conséquent :

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = (1/2) + (1/2) + (1/6) - (1/3) - (1/6) - (1/6) + (1/6)$$ $$= (3 + 3 + 1 - 2 - 1 - 1 + 1) / 6$$ $$= 4/6 = 2/3$$

Exemple (Cas mutuellement exclusif) :

Considérez le lancer d'un dé équitable à six faces. Soit :

• A = Obtenir un 1
• B = Obtenir un 2
• C = Obtenir un 3

Ces événements sont mutuellement exclusifs.

• P(A) = 1/6
• P(B) = 1/6
• P(C) = 1/6

Par conséquent :

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = (1/6) + (1/6) + (1/6) = 3/6 = 1/2$$

B. Probabilité de A et B et C (Intersection d'événements)

Ceci calcule la probabilité que tous les événements se produisent.

• Événements indépendants :

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = P(A) * P(B) * P(C)$$

• Événements dépendants (utilisant la probabilité conditionnelle) :

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A \text{ and } B)$$

Explication : P(B|A) est la probabilité de B sachant que A s'est déjà produit. P(C|A and B) est la probabilité de C sachant que A et B se sont déjà produits.

Exemple (Événements indépendants) :

Supposons que vous lanciez une pièce équitable trois fois. Soit :

• A = Obtenir pile au premier lancer.
• B = Obtenir pile au deuxième lancer.
• C = Obtenir pile au troisième lancer.

Ces événements sont indépendants.

• P(A) = 1/2
• P(B) = 1/2
• P(C) = 1/2

Par conséquent :

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8$$

Exemple (Événements dépendants) :

Supposons que vous ayez un sac contenant 4 billes jaunes et 2 billes vertes. Vous tirez trois billes sans remplacement. Soit :

• A = Tirer une bille jaune au premier tirage.
• B = Tirer une bille jaune au deuxième tirage.
• C = Tirer une bille jaune au troisième tirage.

Ces événements sont dépendants.

• P(A) = 4/6 = 2/3
• P(B|A) = 3/5 (Sachant que vous avez tiré une bille jaune en premier, il reste 3 jaunes et 2 vertes)
• P(C|A and B) = 2/4 = 1/2 (Sachant que vous avez tiré deux billes jaunes, il reste 2 jaunes et 2 vertes)

Par conséquent :

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = (2/3) * (3/5) * (1/2) = 6/30 = 1/5$$

C. Probabilité conditionnelle avec trois événements

Ceci calcule la probabilité qu'un événement se produise sachant que d'autres événements se sont déjà produits.

$$P(A| B \text{ and } C) = \frac{P(A \text{ and } B \text{ and } C)}{P(B \text{ and } C)}$$

Exemple :

En utilisant le sac avec 4 billes jaunes et 2 billes vertes, et en tirant sans remplacement : quelle est la probabilité de tirer une bille jaune en premier, sachant que les deuxième et troisième tirages ont donné des billes jaunes ?

• A = Tirer une bille jaune au premier tirage.
• B = Tirer une bille jaune au deuxième tirage.
• C = Tirer une bille jaune au troisième tirage.

Nous voulons trouver P(A | B and C).

Nous savons déjà que P(A and B and C) = 1/5. Maintenant, nous devons calculer P(B and C). Cela signifie tirer du jaune au deuxième tirage et tirer du jaune au troisième tirage.

Pour calculer P(B and C), nous considérons les deux scénarios possibles :

1. Nous avons tiré jaune en premier, puis jaune, puis jaune (YYY). La probabilité est (4/6)(3/5)(2/4) = 1/5
2. Nous avons tiré vert en premier, puis jaune, puis jaune (GYY). La probabilité est (2/6)(4/5)(3/4) = 1/5

Donc, P(B and C) est la probabilité de tirer du jaune comme 2e et 3e bille, qui sont : P(YYY) + P(GYY) = 1/5 + 1/5 = 2/5

Par conséquent :

$$P(A | B \text{ and } C) = \frac{1/5}{2/5} = 1/2$$

5. Vérifiez votre réponse

• Les probabilités doivent toujours être comprises entre 0 et 1.
• Votre réponse est-elle logiquement cohérente avec le scénario ?

Calcul des probabilités pour 3 événements dans le monde réel

Les calculs de probabilités impliquant trois événements se retrouvent dans de nombreux scénarios du monde réel. Voici quelques exemples :

• Prévisions météorologiques : Un prévisionniste météorologique pourrait considérer trois événements : A = pluie demain, B = température supérieure à 25 degrés Celsius, et C = vitesse du vent dépassant 30 km/h. Il pourrait alors calculer la probabilité que les trois se produisent, ou la probabilité de pluie sachant que la température est élevée et que le vent est fort.

• Diagnostic médical : Un médecin pourrait envisager trois conditions possibles compte tenu des symptômes d'un patient : A = Maladie X, B = Maladie Y, C = Maladie Z. Sur la base des résultats des tests et des symptômes, il peut calculer la probabilité de chaque maladie, ou la probabilité d'avoir la maladie X compte tenu de certains résultats de tests.

• Contrôle de la qualité de la fabrication : Une usine produisant des ampoules pourrait analyser trois événements : A = une ampoule est défectueuse, B = la luminosité d'une ampoule est inférieure à la norme, et C = la durée de vie d'une ampoule est plus courte que prévu. Elle peut utiliser la probabilité pour déterminer la probabilité qu'une ampoule présente un ou plusieurs de ces défauts et ajuster le processus de fabrication en conséquence.

• Analyse sportive : Dans un match de basketball, les événements A, B et C pourraient représenter un joueur réussissant un lancer franc, réussissant un tir à 3 points et obtenant un rebond, respectivement. Les analystes utilisent ces probabilités pour comprendre les performances des joueurs et prédire les résultats.

• Évaluation des risques financiers : En finance, les événements A, B et C pourraient représenter une augmentation du prix d'une action, une diminution des taux d'intérêt et une inflation restant stable, respectivement. Les calculs de probabilités sont cruciaux dans l'évaluation des risques d'investissement.

FAQ sur le calcul des probabilités pour 3 événements

Quelle est la formule pour calculer la probabilité de 3 événements ?

La formule spécifique dépend de ce que vous voulez calculer :

• Probabilité de A ou B ou C (au moins un événement se produit) :

• Cas général (non mutuellement exclusif) :

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

• Mutuellement exclusif :

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

• Probabilité de A et B et C (tous les événements se produisent) :

• Indépendant :

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) * P(B) * P(C)$$

• Dépendant :

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A \cap B)$$

• Probabilité conditionnelle de A sachant B et C :

$$P(A | B \cap C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}$$

Comment les événements indépendants et dépendants affectent-ils les calculs de probabilités ?

• Événements indépendants : La survenue d'un événement n'affecte pas la probabilité des autres événements. Cela simplifie les calculs. Par exemple, avec des événements indépendants A, B et C, P(A and B and C) = P(A) * P(B) * P(C).

• Événements dépendants : La survenue d'un événement modifie les probabilités des événements suivants. Vous devez utiliser la probabilité conditionnelle pour en tenir compte. Par exemple, P(A and B and C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A and B). La probabilité de B dépend de la survenue de A, et la probabilité de C dépend de la survenue de A et B.

Exemple :

Imaginez que vous tiriez des billes d'un sac. Si vous remplacez la bille après chaque tirage (indépendant), les probabilités restent les mêmes. Si vous ne remplacez pas la bille (dépendant), les probabilités changent à chaque tirage car la composition du sac change.

Les calculs de probabilités pour 3 événements peuvent-ils être appliqués à n'importe quel scénario ?

Oui, en théorie, les calculs de probabilités pour trois événements peuvent être appliqués à n'importe quel scénario où vous avez trois événements définis et que vous voulez déterminer la probabilité de différentes combinaisons de ces événements. Cependant, la complexité du calcul peut varier considérablement en fonction de la nature des événements (indépendants vs dépendants, mutuellement exclusifs vs non) et de la disponibilité des données pour estimer les probabilités. Dans certains scénarios du monde réel, la détermination précise des probabilités d'événements individuels et de leurs dépendances peut être difficile, ce qui peut limiter l'applicabilité pratique de ces calculs.

Quels outils peuvent aider à calculer la probabilité de 3 événements ?

Plusieurs outils peuvent aider à ces calculs :

• Calculatrices : Les calculatrices de base peuvent gérer des calculs simples, en particulier avec des événements indépendants. Les calculatrices scientifiques sont utiles pour des calculs plus complexes.
• Logiciel de tableur (par exemple, Excel, Google Sheets) : Ces programmes peuvent effectuer des calculs de probabilités, stocker des données et créer des visualisations. Ils sont très utiles pour les probabilités conditionnelles.
• Logiciel statistique (par exemple, R, Python avec des bibliothèques comme NumPy et SciPy) : Ces outils offrent des fonctions statistiques avancées et sont utiles pour les modèles de probabilités complexes, les simulations et la gestion de grands ensembles de données.
• Diagrammes de Venn : Bien qu'il ne s'agisse pas d'un outil de calcul en soi, les diagrammes de Venn sont utiles pour visualiser les relations entre les événements et comprendre les probabilités que vous devez calculer.
• Calculateurs de probabilités en ligne : De nombreux sites Web offrent des calculateurs spécialement conçus pour les calculs de probabilités, y compris ceux impliquant plusieurs événements. Il suffit de rechercher 'probability calculator 3 events'.
• Logiciel de mathématiques (par exemple, Mathos AI) : Ces outils peuvent effectuer des calculs symboliques et numériques et sont utiles pour obtenir rapidement des résultats et explorer divers scénarios de probabilités.

Comment la probabilité conditionnelle se rapporte-t-elle aux calculs à 3 événements ?

La probabilité conditionnelle est cruciale lorsqu'il s'agit d'événements dépendants. Elle vous permet de calculer la probabilité qu'un événement se produise sachant que un ou plusieurs autres événements se sont déjà produits.

Dans le contexte de trois événements :

• P(A|B) est la probabilité que A se produise sachant que B s'est produit.
• P(A|B and C) est la probabilité que A se produise sachant que B et C se sont produits.

Ces probabilités conditionnelles sont essentielles pour calculer la probabilité de l'intersection d'événements dépendants : P(A and B and C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A and B). Sans probabilité conditionnelle, vous ne pouvez pas calculer avec précision les probabilités lorsque les événements sont dépendants.