Mathos AI | Calculateur d'inégalités - Résoudre des inégalités linéaires et quadratiques

Introduction

Êtes-vous perplexe face aux inégalités et à la manière de les résoudre ou de les représenter graphiquement ? Les inégalités sont un concept fondamental en mathématiques, crucial pour comprendre les plages de valeurs et résoudre des problèmes du monde réel. Que vous soyez un étudiant novice en algèbre ou quelqu'un qui souhaite rafraîchir ses compétences en mathématiques, ce guide rendra les inégalités faciles à comprendre et à appliquer.

Dans ce guide complet, nous explorerons :

• Qu'est-ce qu'une inégalité ?
• Comment résoudre une inégalité
• Comment représenter graphiquement des inégalités
• Quand faut-il inverser le signe d'inégalité ?
• Inégalités de valeur absolue
• Une inégalité peut-elle être une fonction ?
• Utiliser le calculateur d'inégalités Mathos AI pour des solutions rapides et précises

À la fin de ce guide, vous aurez une bonne compréhension des inégalités et de la manière de travailler avec elles en toute confiance.

Qu'est-ce qu'une inégalité ?

Une inégalité est une déclaration mathématique qui compare deux expressions à l'aide de symboles d'inégalité. Elle montre qu'une quantité est supérieure, inférieure, supérieure ou égale, ou inférieure ou égale à une autre quantité.

Symboles d'inégalité

• Supérieur à : $>$
• Inférieur à : $<$
• Supérieur ou égal à : $geq$
• Inférieur ou égal à : $geq$
• Pas égal à : $eq$

Exemple :

• $x>5 : x$ est supérieur à $5$.
• $y \leq-2 : y$ est inférieur ou égal à $-2$ .

Comprendre les inégalités

Les inégalités représentent une plage de solutions possibles plutôt qu'une seule valeur. Elles sont essentielles dans :

• Algèbre : Résoudre des équations qui impliquent des inégalités.
• Graphisme : Visualiser des solutions sur une droite numérique ou un plan coordonné.
• Problèmes du monde réel : Modéliser des scénarios où les quantités ont des limites (par exemple, contraintes budgétaires, limites de vitesse).

Comment résoudre des inégalités ?

Guide étape par étape pour résoudre des inégalités

Résoudre des inégalités est similaire à résoudre des équations, mais avec des règles spéciales lors de la multiplication ou de la division par des nombres négatifs.

Exemple :

Résoudre l'inégalité :

$$2 x+3<7$$

Étape 1 : Isoler le terme variable

Soustrayez 3 des deux côtés :

$$\begin{gathered} 2 x+3-3<7-3 \\ 2 x<4 \end{gathered}$$

Étape 2 : Résoudre pour $x$

Divisez les deux côtés par 2 :

$$\begin{gathered} \frac{2 x}{2}<\frac{4}{2} \\ x<2 \end{gathered}$$

Solution :

$$x<2$$

Règles Importantes

1. Addition/Soustraction : Vous pouvez ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés sans changer le signe d'inégalité.
2. Multiplication/Division par des Nombres Positifs : Vous pouvez multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre positif sans changer le signe d'inégalité.
3. Multiplication/Division par des Nombres Négatifs : Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés par un nombre négatif, vous devez inverser le signe d'inégalité.

Exemple :

Résoudre l'inégalité :

$$-3 x>9$$

Divisez les deux côtés par -3 (et inversez le signe d'inégalité) :

$$x<-3$$

Solution :

$$x<-3$$

Quand Inverser le Signe d'Inégalité ?

Vous inversez le signe d'inégalité lorsque vous :

• Multipliez ou divisez les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif.

Pourquoi ?

Parce que multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse l'ordre de l'inégalité.

Exemple :

Étant donné $-2 x \geq 6$ :

1. Divisez les deux côtés par -2 :

$$\frac{-2 x}{-2} \leq \frac{6}{-2}$$

(Inverser le signe d'inégalité) 2. Simplifiez :

$${ }^{\downarrow} x \leq-3$$

Comment Résoudre une Inégalité

Résoudre des Inégalités Linéaires

Exemple :

Résoudre $5-2 x \leq 11$.

Étape 1 : Isoler le Terme de Variable

Soustrayez 5 des deux côtés :

$$\begin{gathered} 5-2 x-5 \leq 11-5 \\ -2 x \leq 6 \end{gathered}$$

Étape 2 : Résoudre pour $x$

Divisez les deux côtés par -2 (n'oubliez pas d'inverser le signe d'inégalité) :

$$\begin{gathered} \frac{-2 x}{-2} \geq \frac{6}{-2} \\ x \geq-3 \end{gathered}$$

Solution :

$$x \geq-3$$

Résoudre des Inégalités Composées

Une inégalité composée implique deux inégalités reliées par "et" ou "ou".

Exemple (Utilisant "et") :

Résoudre $-1<2 x-3 \leq 5$.

Étape 1 : Résoudre Chaque Inégalité Séparément

Première inégalité :

$$-1<2 x-3$$

Ajoutez 3 :

$$\begin{gathered} -1+3<2 x \\ 2<2 x \end{gathered}$$

Divisez par 2 :

$$1<x$$

Deuxième inégalité :

$$2 x-3 \leq 5$$

Ajoutez 3:

$$2 x \leq 8$$

Divisez par 2 :

$$x \leq 4$$

Étape 2 : Combinez les Solutions

$$1<x \leq 4$$

Solution : $x$ est supérieur à 1 et inférieur ou égal à 4.

Comment Graphier des Inégalités

Graphier des inégalités aide à visualiser l'ensemble des solutions sur une droite numérique ou un plan coordonné. Graphier sur une Droite Numérique

Exemple :

Graphiez $x>2$.

Étapes :

1. Dessinez une Droite Numérique : Marquez les nombres pertinents.
2. Cercle Ouvert ou Fermé :

• Cercle ouvert à 2 (puisque $x$ n'est pas égal à 2).

3. Ombrez la Région :

• Ombrez à droite de 2 (valeurs supérieures à 2).

Graphier des Inégalités Linéaires à Deux Variables

Des inégalités comme $y \leq 2 x+1$

Étapes :

1. Graphiez la Ligne de Limite :

• Remplacez l'inégalité par un signe égal : $y=2 x+1$.
• Dessinez la ligne. Utilisez une ligne solide pour $\leq$ ou $\geq$, en pointillé pour $<$ ou $>$.

2. Testez un Point (généralement $(0,0)$) :

• Si $(0,0)$ satisfait l'inégalité, ombrez le côté contenant $(0,0)$.

3. Ombrez la Région Appropriée :

• Ombrez en dessous de la ligne pour $\leq$, au-dessus pour $\geq$.

Exemple :

Graphiez $y>-x+2$.

1. Dessinez une Ligne en Pointillé pour $y=-x+2$.
2. Testez le Point $(0,0)$ :

$$\begin{gathered} 0>-(0)+2 \\ 0>2 \quad \text { (Faux) } \end{gathered}$$

Puisque le point de test ne satisfait pas l'inégalité, ombrez le côté opposé.

3. Ombrez au-dessus de la Ligne.

Inégalités de Valeur Absolue

La valeur absolue mesure la distance d'un nombre par rapport à zéro sur la droite numérique.

Types d'Inégalités de Valeur Absolue

1. Moins que $(|x|<a)$ :

• Inégalité "Et" : $-a<x<a$

2. Plus que $(|x|>a)$ :

• Inégalité "Ou" : $x<-a$ ou $x>a$

Exemple 1 :

Résolvez $|x-3| \leq 5$.

Étapes :

1. Mettez en Place l'Inégalité Composée :

$$-5 \leq x-3 \leq 5$$

2. Résolvez pour $x$ :

Ajoutez $3$ à toutes les parties :

$$\begin{aligned} -5+3 & \leq x \leq 5+3 \\ -2 & \leq x \leq 8 \end{aligned}$$

Solution :

$$-2 \leq x \leq 8$$

Exemple 2 :

Résolvez $|2 x+1|>7$.

Étapes :

1. Mettez en Place l'Inégalité "Ou" :

$$2 x+1<-7 \quad \text { ou } \quad 2 x+1>7$$

2. Résolvez Chaque Inégalité :

Première inégalité:

$$\begin{gathered} 2 x+1<-7 \\ 2 x<-8 \\ x<-4 \end{gathered}$$

Deuxième inégalité:

$$\begin{gathered} 2 x+1>7 \\ 2 x>6 \\ x>3 \end{gathered}$$

Solution:

$$x<-4 \text { ou } x>3$$

Une inégalité peut-elle être une fonction ?

Une inégalité en soi n'est pas une fonction, mais elle peut définir une plage de valeurs pour lesquelles une fonction existe.

Comprendre les fonctions et les inégalités

• Fonction : Une relation où chaque entrée a exactement une sortie.
• Inégalité : Décrit un ensemble de valeurs qui satisfont une condition.

Exemple:

L'inégalité $y \geq x^2$ représente tous les points où $y$ est supérieur ou égal à $x^2$.

• Graphiquement : C'est la région au-dessus de la parabole $y=x^2$.
• Relation avec les fonctions : Les inégalités peuvent contraindre le domaine ou l'intervalle des fonctions.

Utilisation de la calculatrice d'inégalités Mathos AI

Résoudre des inégalités manuellement peut prendre du temps et être sujet à des erreurs. La calculatrice d'inégalités Mathos AI simplifie ce processus, fournissant des solutions rapides et précises.

Caractéristiques

• Gère diverses inégalités : Linéaires, quadratiques, valeur absolue, et plus.
• Solutions étape par étape : Comprendre chaque étape dans la résolution de l'inégalité.
• Représentation graphique : Visualiser la solution sur une droite numérique ou un plan coordonné.
• Interface conviviale : Facile à saisir des inégalités et à interpréter les résultats.

Comment utiliser la calculatrice

1. Accéder à la calculatrice : Visitez le site Web de Mathos AI et naviguez vers la calculatrice d'inégalités.
2. Saisir l'inégalité : Entrez votre inégalité, comme $2 x+3<7$.
3. Cliquez sur Calculer : La calculatrice traite l'inégalité.
4. Voir la solution :

• Ensemble de solutions : Affiche la solution pour $x$.

• Explication étape par étape : Comprendre comment la solution a été atteinte.

• Graphique : Représentation visuelle de la solution.

Exemple:

Résoudre $|x-4|>5$ en utilisant le calculateur d'inégalités Mathos AI.

• Étape 1 : Entrez $|x-4|>5$ dans le calculateur.
• Étape 2 : Cliquez sur Calculer.
• Étape 3 : Le calculateur fournit :
• Solution : $x<-1$ ou $x>9$
• Étapes : Montre comment l'inégalité a été divisée et résolue.
• Graphique : Représentation visuelle sur une ligne numérique.

Conclusion

Comprendre les inégalités est essentiel pour maîtriser l'algèbre et résoudre des problèmes du monde réel. En apprenant à résoudre des inégalités, à les tracer et à savoir quand inverser le signe de l'inégalité, vous pouvez relever un large éventail de défis mathématiques.

Points clés à retenir :

• Les inégalités représentent des plages de valeurs, pas seulement des nombres spécifiques.

• Résoudre des inégalités implique des étapes similaires à celles de la résolution d'équations, avec une attention particulière à la multiplication ou à la division par des nombres négatifs.

• Tracer des inégalités aide à visualiser les ensembles de solutions.

• Les inégalités de valeur absolue nécessitent la mise en place d'inégalités composées.

• Le calculateur d'inégalités Mathos AI est une ressource précieuse pour des solutions rapides et précises.

• Utilisez des outils : Utilisez le calculateur Mathos AI pour vérifier votre travail.

• Explorez les applications : Voyez comment les inégalités s'appliquent dans des domaines comme l'économie, l'ingénierie et la science.

Questions Fréquemment Posées

1. Qu'est-ce qu'une inégalité ?

Une inégalité est une déclaration mathématique qui compare deux expressions, indiquant que l'une est supérieure, inférieure, supérieure ou égale, ou inférieure ou égale à l'autre.

2. Comment résoudre des inégalités ?

• Isolez la variable d'un côté.
• Effectuez des opérations similaires à celles de la résolution d'équations.
• Inversez le signe de l'inégalité lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés par un nombre négatif.

3. Quand inversez-vous le signe de l'inégalité ?

Vous inversez le signe d'inégalité lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif.

4. Comment tracer une inégalité ?

• Pour une variable : Utilisez une droite numérique, marquez la valeur et ombrez la région représentant l'ensemble de solutions.
• Pour deux variables : Tracez la ligne de frontière, utilisez un point de test et ombrez la région appropriée sur le plan coordonné.

5. Comment résoudre une inégalité impliquant des valeurs absolues ?

• Établissez des inégalités composées en fonction du type :
• Pour $|x|<a$, écrivez $-a<x<a$.
• Pour $|x|>a$, écrivez $x<-a$ ou $x>a$.
• Résolvez chaque inégalité séparément.

6. Une inégalité peut-elle être une fonction ?

Une inégalité en elle-même n'est pas une fonction, mais elle peut définir une plage de valeurs pour lesquelles une fonction existe ou contraindre le domaine ou l'image d'une fonction.

7. Comment tracer des inégalités ?

Référez-vous à la section "Comment tracer des inégalités" pour des étapes détaillées sur le traçage des inégalités sur une droite numérique ou un plan coordonné.

8. Existe-t-il une calculatrice pour résoudre des inégalités ?

Oui, la calculatrice Mathos Al Inequality peut résoudre divers types d'inégalités, fournissant des solutions étape par étape et des représentations graphiques.