Mathos AI | Calculateur d'Équations - Résoudre N'importe Quelle Équation Instantanément

Introduction

Les équations sont la base des mathématiques, servant d'outils essentiels pour la résolution de problèmes dans divers domaines tels que la science, l'ingénierie, l'économie et la vie quotidienne. Comprendre comment résoudre différents types d'équations vous permet d'aborder des problèmes complexes avec confiance. Ce guide complet vise à rendre les équations faciles à comprendre et à appliquer, même si vous débutez votre parcours mathématique.

Dans ce guide, nous explorerons :

• Qu'est-ce qu'une équation ?
• Types d'équations
• Méthodes détaillées pour résoudre chaque type d'équation
• Exemples étape par étape avec explications
• Présentation du Solveur d'Équations Mathos AI

À la fin de ce guide, vous aurez une bonne compréhension des équations et des techniques pour les résoudre efficacement.

Qu'est-ce qu'une Équation ?

Une équation est une déclaration mathématique qui affirme l'égalité de deux expressions. Elle se compose de :

• Variables : Symboles comme $x, y, z$ qui représentent des valeurs inconnues.
• Constantes : Valeurs connues, telles que des nombres.
• Opérateurs : Opérations mathématiques comme l'addition $(+)$, la soustraction $(-)$, la multiplication $(\times)$ et la division $(\div)$.
• Signe d'Égalité : Le symbole = indique que les expressions des deux côtés sont égales.

Exemple :

$$2 x+5=15$$

Dans cette équation :

• $x$ est la variable à résoudre.
• $2 x+5$ et 15 sont des expressions.
• Le signe d'égalité $=$ affirme que $2 x+5$ est égal à 15.

Importance des Équations

• Résolution de Problèmes : Les équations nous permettent de trouver des valeurs inconnues dans divers contextes.
• Fondement en Mathématiques : Essentiel pour comprendre l'algèbre, le calcul, la physique, et plus encore.
• Applications dans le Monde Réel : Utilisées en ingénierie, en économie, en statistiques, et dans des situations quotidiennes comme la budgétisation.

Types of Equations

Comprendre les différents types d'équations est crucial car chaque type nécessite des méthodes spécifiques pour être résolu. Nous allons couvrir :

1. Équations Linéaires
2. Équations Quadratiques
3. Équations Polynomiales
4. Équations Rationnelles
5. Équations Radicaux
6. Équations Exponentielles
7. Équations Logarithmiques

1. Résoudre des Équations Linéaires

Qu'est-ce qu'une Équation Linéaire ?

Une équation linéaire est une équation de premier degré, ce qui signifie que la ou les variables ne sont pas élevées à une puissance autre que un. Elle représente une ligne droite lorsqu'elle est tracée sur un plan coordonné.

Forme Générale :

a x+b=0$$ - $\quad a$ et $b$ sont des constantes. - $x$ est la variable. ### Exemple :

3 x-9=0$$

Comment Résoudre des Équations Linéaires

Objectif : Trouver la valeur de $x$ qui rend l'équation vraie.

Étapes :

1. Simplifier les Deux Côtés : Enlever les parenthèses et combiner les termes semblables si nécessaire.
2. Isoler le Terme de Variable : Obtenir tous les termes contenant $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.
3. Résoudre pour la Variable : Effectuer des opérations arithmétiques pour trouver $x$.

Exemple Détaillé

Problème :

Résoudre $2 x+5=15$.

Étape 1 : Simplifier les Deux Côtés

Dans ce cas, les deux côtés sont déjà simplifiés.

Étape 2 : Isoler le Terme de Variable

Soustraire 5 des deux côtés pour déplacer le terme constant :

\begin{gathered} 2 x+5-5=15-5 \\ 2 x=10 \end{gathered}$$ Explication : Nous soustrayons 5 des deux côtés pour éliminer le terme constant du côté gauche. Étape 3 : Résoudre pour $x$ Diviser les deux côtés par 2 pour isoler $x$ :

\begin{aligned} \frac{2 x}{2} & =\frac{10}{2} \ x & =5 \end{aligned}$$

Explication : Diviser les deux côtés par 2 simplifie le coefficient de $x$ à 1.

Réponse :

x=5$$ ## 2. Résoudre des Équations Quadratiques ### Qu'est-ce qu'une Équation Quadratique ? Une équation quadratique est une équation polynomiale de second degré en une variable $x$ avec l'exposant le plus élevé de 2. ### Forme Générale :

a x^2+b x+c=0$$

• $a \neq 0$
• $\quad a, b$, et $c$ sont des constantes.

Exemple :

x^2-5 x+6=0$$ ### Méthodes pour Résoudre des Équations Quadratiques 1. Factorisation 2. Compléter le Carré 3. Formule Quadratique Nous explorerons chaque méthode en détail. #### Méthode 1 : Factorisation Quand l'utiliser : Lorsque le quadratique peut être factorisé en deux binômes. Étapes : 1. Écrire l'équation sous forme standard : Assurez-vous que l'équation est égale à zéro. 2. Factoriser le quadratique : Trouvez deux nombres qui se multiplient pour donner $a c$ (produit de $a$ et $c$) et s'additionnent à $b$. 3. Mettre chaque facteur à zéro : Appliquer la propriété du produit nul. 4. Résoudre pour $x$ : Trouvez les valeurs de $x$ qui satisfont chaque équation. #### Exemple détaillé Problème : Résoudre $x^2-5 x+6=0$. Étape 1 : Écrire sous forme standard L'équation est déjà sous forme standard. Étape 2 : Factoriser le quadratique Nous avons besoin de deux nombres qui se multiplient pour donner 6 (puisque $a=1$ et $c=6$) et s'additionnent à -5. - Paires possibles : - -2 et -3 parce que $(-2)(-3)=6$ et $-2+(-3)=-5$. Factorisation :

x^2-2 x-3 x+6=0

$$$$

\begin{gathered} x(x-2)-3(x-2)=0 \ (x-3)(x-2)=0 \end{gathered}

$$Explication : Nous avons regroupé les termes et factorisé par regroupement. Étape 3 : Mettre chaque facteur à zéro$$

x-3=0 \quad \text { ou } \quad x-2=0

Étape 4 : Résoudre pour $x$ - $x=3$ - $x=2$ Réponse :

x=2 \quad \text { ou } \quad x=3

#### Méthode 2 : Compléter le carré Quand l'utiliser : Utile lorsque le quadratique ne se factorise pas facilement. Étapes : 1. Écrire l'équation sous forme standard : Déplacez le terme constant de l'autre côté. 2. Diviser les deux côtés par $a$ : Si $a \neq 1$, divisez pour que le coefficient de $x^2$ soit égal à 1. 3. Compléter le carré : - Prenez la moitié du coefficient de $x$, élevez-le au carré et ajoutez-le aux deux côtés. 4. Écrire le côté gauche comme un carré parfait. 5. Résoudre pour $x$ : - Prenez la racine carrée des deux côtés. - Isolez $x$. #### Exemple détaillé Problème : Résoudre $x^2-6 x+5=0$. Étape 1 : Déplacer le terme constant

x^2-6 x=-5

Étape 2 : Le coefficient de $x^2$ est 1, donc nous pouvons continuer. Étape 3 : Compléter le carré - La moitié de -6 est -3. - \quad Élevez -3 au carré pour obtenir 9. - Ajoutez 9 aux deux côtés :

\begin{gathered} x^2-6 x+9=-5+9 \ x^2-6 x+9=4 \end{gathered}

$$Explication : Ajouter 9 complète le carré sur le côté gauche. Étape 4 : Écrire comme un carré parfait$$

(x-3)^2=4

Étape 5 : Résoudre pour $x$ - Prenez la racine carrée des deux côtés :

\begin{gathered}
\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{4}
\
x-3= \pm 2
\end{gathered}

- $\quad$ Résoudre pour $x$ : - $x-3=2 \Longrightarrow x=5$ - $x-3=-2 \Longrightarrow x=1$ Réponse :

x=1 \quad \text { ou } \quad x=5

#### Méthode 3 : Formule Quadratique Quand l'utiliser : Applicable à toutes les équations quadratiques, surtout lorsque le factorisation est difficile. ##### Formule Quadratique :

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}

Étapes : 1. Identifier $a, b$, et $c$ dans l'équation quadratique $a x^2+b x+c=0$. 2. Calculer le Discriminant :

D=b^2-4 a c

3. Appliquer la Formule Quadratique. 4. Simplifier pour trouver les valeurs de $x$. #### Exemple Détailé Problème : Résoudre $2 x^2-4 x-3=0$. Étape 1 : Identifier $a, b, c$ - $a=2$ - $b=-4$ - $c=-3$ Étape 2 : Calculer le Discriminant

D=(-4)^2-4 \times 2 \times(-3)=16+24=40

$$Étape 3 : Appliquer la Formule Quadratique$$

x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{40}}{2 \times 2}

$$Simplifier :$$

x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}

Étape 4 : Simplifier Encore - Simplifier $\sqrt{40}$ :

\sqrt{40}=\sqrt{4 \times 10}=2 \sqrt{10}

$$- Remplacer :$$

x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}

$$- Simplifier la fraction :$$

x=\frac{4}{4} \pm \frac{2 \sqrt{10}}{4}=1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}

$$Réponse :$$

x=1+\frac{\sqrt{10}}{2} \quad \text { ou } \quad x=1-\frac{\sqrt{10}}{2}

### 3. Résoudre des Équations Polynomiales #### Qu'est-ce qu'une Équation Polynomiale ? Une équation polynomiale implique une expression polynomiale mise à zéro, avec des degrés supérieurs à deux. ##### Forme Générale :

a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_0=0

$$Exemple :$$

x^3-4 x^2+x+6=0

#### Comment Résoudre des Équations Polynomiales Méthodes : 1. Factorisation 2. Théorème des Racines Rationnelles 3. Division Synthétique 4. Méthodes Graphiques #### Exemple Détailé Problème : Résoudre $x^3-4 x^2+x+6=0$. Étape 1 : Utiliser le Théorème des Racines Rationnelles Racines Rationnelles Possibles : - Facteurs du terme constant (6) : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ - Facteurs du coefficient dominant (1) : $\pm 1$ - Racines possibles : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ Étape 2 : Tester les Racines Possibles Test $x=2$ :

(2)^3-4(2)^2+2+6=8-16+2+6=0

Found Root: $x=2$ Step 3: Factoriser $(x-2)$ Utilisez la division polynomiale ou la division synthétique pour diviser le polynôme par $(x-2)$. Step 4: Factoriser le Quadratique

x^2-2 x-3=(x-3)(x+1)

$$Step 5: Écrire la Factorisation Complète$$

(x-2)(x-3)(x+1)=0

Step 6: Résoudre pour $x$ Mettez chaque facteur à zéro : - $x-2=0 \Longrightarrow x=2$ - $x-3=0 \Longrightarrow x=3$ - $x+1=0 \Longrightarrow x=-1$ Réponse :

x=-1, \quad x=2, \quad x=3

### 4. Résoudre des Équations Rationnelles #### Qu'est-ce qu'une Équation Rationnelle ? Une équation rationnelle contient une ou plusieurs expressions rationnelles (fractions impliquant des polynômes). Exemple :

\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=3

#### Comment Résoudre des Équations Rationnelles Étapes : 1. Identifier le Dénominateur Commun : Trouvez le plus petit dénominateur commun (PPCM) de toutes les fractions. 2. Multiplier les Deux Côtés par le PPCM : Élimine les dénominateurs. 3. Simplifier l'Équation Résultante : Combiner les termes semblables. 4. Résoudre l'Équation : Utilisez des méthodes appropriées (linéaire, quadratique). 5. Vérifier les Solutions Extrinsèques : Assurez-vous que les solutions ne rendent pas les dénominateurs nuls. #### Exemple Détailé Problème : Résoudre $\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=3$. Step 1: Trouver le PPCM Le PPCM est $x(x+1)$. Step 2: Multiplier les Deux Côtés par le PPCM

x(x+1)\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}\right)=3 \times x(x+1)

$$Simplifier :$$

(x+1)+2 x=3 x(x+1)

$$Step 3: Simplifier l'Équation Combiner les termes semblables :$$

x+1+2 x=3 x^2+3 x

$$Simplifier le côté gauche :$$

3 x+1=3 x^2+3 x

Soustraire $3 x+1$ des deux côtés :

3 x+1-(3 x+1)=3 x^2+3 x-(3 x+1)

$$Simplifier :$$

\begin{gathered} 0=3 x^2+3 x-3 x-1 \ 0=3 x^2-1 \end{gathered}

$$Step 4: Résoudre l'Équation Quadratique$$

3 x^2-1=0

$$Diviser les deux côtés par 3 :$$

x^2=\frac{1}{3}

$$Prendre la racine carrée :$$

x= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Step 5: Vérifier les Solutions Extrinsèques Assurez-vous que $x \neq 0$ et $x \neq-1$ (valeurs qui rendent les dénominateurs nuls). - $x=\frac{\sqrt{3}}{3}:$ Valide - $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}:$ Valide (puisque ce n'est pas -1 ou 0 ) Réponse :

x= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

### 5. Résolution des Équations Radicales #### Qu'est-ce qu'une Équation Radicale ? Une équation radicale contient une variable à l'intérieur d'un radical, typiquement une racine carrée. Exemple :

\sqrt{x+2}=x-2

#### Comment Résoudre des Équations Radicales Étapes : 1. Isoler l'Expression Radicale : Obtenez le radical d'un côté. 2. Éliminer le Radical : Élevez les deux côtés à la puissance qui annule le radical (par exemple, élevez les deux côtés au carré). 3. Résoudre l'Équation Résultante : Utilisez des méthodes appropriées. 4. Vérifier les Solutions Extrinsèques : Remplacez dans l'équation originale. #### Exemple Détaillé Problème : Résoudre $$\sqrt{x+2}=x-2$$. Étape 1 : Isoler le Radical Déjà isolé. Étape 2 : Élever les Deux Côtés au Carré

\begin{gathered} (\sqrt{x+2})^2=(x-2)^2 \ x+2=x^2-4 x+4 \end{gathered}

$$Explication : Élever au carré élimine la racine carrée. Étape 3 : Réorganiser et Simplifier Déplacez tous les termes d'un côté :$$

\begin{gathered} x^2-4 x+4-x-2=0 \ x^2-5 x+2=0 \end{gathered}

Étape 4 : Résoudre l'Équation Quadratique Utilisez la formule quadratique avec $$a=1, b=-5, c=2$$. Calculez le discriminant :

D=(-5)^2-4 \times 1 \times 2=25-8=17

Trouvez $$x$$ :

x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \times 1}=\frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}

Valeurs approximatives : - $$x \approx \frac{5+4.1231}{2} \approx \frac{9.1231}{2} \approx 4.5615$$ - $$x \approx \frac{5-4.1231}{2} \approx \frac{0.8769}{2} \approx 0.4385$$ Étape 5 : Vérifier les Solutions Extrinsèques Remplacez dans l'équation originale. Première Solution ( $$x \approx 4.5615$$ ) :

\begin{gathered} \sqrt{4.5615+2}=4.5615-2 \ \sqrt{6.5615} \approx 2.5615 \ 2.5615 \approx 2.5615 \quad \text { Valide } \end{gathered}

Deuxième Solution ( $$x \approx 0.4385$$ ) :

\begin{gathered} \sqrt{0.4385+2}=0.4385-2 \ \sqrt{2.4385} \approx 1.5615 \ 0.4385-2=-1.5615 \ 1.5615=-1.5615 \quad \text { Invalide } \end{gathered}

$$Explication : Les racines carrées sont toujours non négatives, donc le résultat négatif est invalide. Réponse :$$

x=\frac{5+\sqrt{17}}{2} \quad \text { (environ 4.5615) }

### 6. Résolution des Équations Exponentielles #### Qu'est-ce qu'une équation exponentielle ? Une équation exponentielle a des variables dans l'exposant. Exemple :

2^x=8

#### Comment résoudre des équations exponentielles Étapes : 1. Exprimez les deux côtés avec la même base : si possible. 2. Égalisez les exposants : car si les bases sont les mêmes, les exposants doivent être égaux. 3. Résolvez pour la variable. Alternativement, utilisez des logarithmes si les bases ne peuvent pas être rendues identiques. #### Exemple détaillé Problème : Résoudre $2^x=8$. Étape 1 : Exprimez les deux côtés avec la même base Puisque $8=2^3$ :

2^x=2^3

$$Étape 2 : Égalisez les exposants$$

x=3

$$Réponse :$$

x=3

Un autre exemple Problème : Résoudre $5^{2 x-1}=125$. Étape 1 : Exprimez les deux côtés avec la même base Puisque $125=5^3$ :

5^{2 x-1}=5^3

$$Étape 2 : Égalisez les exposants$$

2 x-1=3

Étape 3 : Résolvez pour $x$

\begin{gathered} 2 x=4 \ x=2 \end{gathered}

$$Réponse :$$

x=2

### 7. Résoudre des équations logarithmiques #### Qu'est-ce qu'une équation logarithmique ? Une équation logarithmique implique des logarithmes d'expressions contenant des variables. Exemple :

\log _2(x)+\log _2(x-3)=3

#### Comment résoudre des équations logarithmiques Étapes : 1. Combinez les logarithmes : utilisez des identités logarithmiques pour combiner les termes. 2. Convertissez en forme exponentielle : réécrivez l'équation logarithmique comme une équation exponentielle. 3. Résolvez pour la variable. 4. Vérifiez les solutions extrêmes : assurez-vous que les arguments des logarithmes sont positifs. #### Exemple détaillé Problème : Résoudre $\log _2(x)+\log _2(x-3)=3$. Étape 1 : Combinez les logarithmes Utilisez la règle du produit :

\log _2(x(x-3))=3

$$Étape 2 : Convertissez en forme exponentielle$$

x(x-3)=2^3

$$Simplifiez :$$

x^2-3 x=8

$$Étape 3 : Réorganisez l'équation$$

x^2-3 x-8=0

$$Étape 4 : Factorisez le quadratique$$

(x-4)(x+1)=0

Étape 5 : Résolvez pour $x$ - $x-4=0 \Longrightarrow x=4$ - $x+1=0 \Longrightarrow x=-1$ Étape 6 : Vérifiez les solutions extrêmes - $\quad x=4$ : Valide puisque $x>0$ et $x-3>0$. - $\quad x=-1$ : Invalide puisque les logarithmes de nombres négatifs sont indéfinis. Réponse :

x=4

undefined