Calculateur de dérivées en ligne gratuit

Une dérivée mesure comment une fonction change lorsque son entrée varie. Si $y=f(x)$, la dérivée s’écrit $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ ou $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Conceptuellement, elle représente la pente de la tangente à la courbe en un point, et c’est une idée clé du calcul différentiel.

La définition formelle est la définition par limite (aussi appelée quotient de différence) :

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Cette définition explique pourquoi les règles de dérivation fonctionnent et relie les dérivées au taux de changement instantané (par exemple, la vitesse comme dérivée de la position). Un calculateur de dérivées utilise ces idées pour calculer rapidement, mais comprendre leur sens aide à interpréter le résultat.

La notation usuelle inclut aussi des dérivées d’ordre supérieur comme la deuxième dérivée $f''(x)$ qui est la variation de la pente (concavité). Pour les fonctions multivariables $f(x,y)$, on rencontre les dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$, mesurant la variation par rapport à une variable en maintenant les autres constantes.

La plupart des différentiations sont faites à l’aide de règles de différenciation standard plutôt que de la définition par limite à chaque fois. La règle de puissance dit : si $f(x)=x^n$, alors $f'(x)=nx^{n-1}$. Cela s’étend aux constantes et multiples, donc $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Pour les produits et quotients, on utilise la règle du produit et la règle du quotient :

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Un calculateur identifie automatiquement $u$ et $v$ dans des expressions comme $(x^2+1)(x^3-4)$ ou $\frac{x^2+1}{x-3}$ puis simplifie le résultat.

La source d’erreurs la plus fréquente est la règle de la chaîne, utilisée pour les compositions (fonctions « intérieure » et « extérieure ») :

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Exemple : pour $\sin(3x^2)$, on pose $h(x)=3x^2$. Alors $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, donnant $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Les calculateurs voient souvent les fonctions trigonométriques et leurs dérivées standards : $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, et $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Quand les fonctions trig combinent avec des polynômes ou exponentielles, la règle de la chaîne et la règle du produit s'appliquent souvent ensemble.

Pour les fonctions exponentielles, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ et par la règle de la chaîne, $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Pour les logarithmes, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ et $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Ces règles alimentent nombreux modèles de taux de changement en science et économie.

Assembler ces règles rend la simplification importante. Exemple :

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

Un bon calculateur applique les règles correctes et rend aussi une forme claire, factorisée ou simplifiée quand c’est utile.

La différenciation implicite s’emploie quand $y$ n’est pas isolée en fonction explicite de $x$. Au lieu de réécrire l’équation, on dérive les deux membres par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une fonction $y(x)$. À chaque terme contenant $y$, on applique la règle de la chaîne en incluant $\frac{dy}{dx}$.

Exemple : pour $x^2+y^2=25$,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

On résout pour $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Cette technique est courante pour cercles, ellipses, et contraintes en optimisation.

Un calculateur supportant la différenciation implicite vous évite d’oublier le facteur $\frac{dy}{dx}$, fréquente erreur d’étudiant. Il aide aussi avec relations plus complexes comme $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.