旋轉體體積測驗（圓盤、環形、圓柱殼法）

Question 1

將 $x=0$ 到 $x=2$ 之間，曲線 $y=x^2$ 下方的區域繞 $x$ 軸旋轉，求所形成立體的體積。

Accepted Answer

$\dfrac{32\pi}{5}$

Answer

$\dfrac{8\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{16\pi}{5}$

Answer

$\dfrac{64\pi}{5}$

Question 2

用環形法（washers），將 $x=y^2$ 與 $x=4$ 之間的區域繞 $y$ 軸旋轉（$-2\le y\le 2$），求體積。

Accepted Answer

$\dfrac{128\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{64\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{384\pi}{5}$

Answer

$32\pi$

Question 3

一個區域由 $y=x$ 與 $y=\dfrac{1}{x}$ 夾在一起，且 $1\le x\le 2$。將其繞 $y$ 軸旋轉。哪一個表達式能以最少的變數轉換給出體積？正確的設置為何？

Accepted Answer

圓柱殼法：$V=2\pi\int_{1}^{2} x\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,dx$

Answer

圓柱殼法：$V=\pi\int_{1}^{2} x\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,dx$

Answer

圓盤法：$V=\pi\int_{1}^{2} (x-\dfrac{1}{x})^2\,dx$

Answer

環形法：$V=\pi\int_{1}^{2} \left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)\,dx$

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