Mathos AI | Калькулятор геометричної прогресії

Основна концепція обчислення геометричної прогресії

Що таке обчислення геометричної прогресії?

Обчислення геометричної прогресії передбачає роботу з послідовностями, де кожен член знаходиться шляхом множення попереднього члена на постійне значення. Це постійне значення називається знаменником. Розуміння геометричних прогресій має вирішальне значення для розуміння таких понять, як експоненціальне зростання та спад, які з'являються в багатьох галузях навчання. На відміну від арифметичних прогресій, які передбачають додавання постійної різниці, геометричні прогресії передбачають множення.

• Визначення: Послідовність, де відношення між послідовними членами є постійним.
• Приклад: 1, 3, 9, 27, 81... (знаменник = 3)
• Порівняння з арифметичними прогресіями: Арифметичні прогресії додають константу (наприклад, 1, 5, 9, 13...), тоді як геометричні прогресії множать на константу.

Розуміння знаменника

Знаменник є наріжним каменем геометричної прогресії. Це постійний коефіцієнт, на який ви множите один член, щоб отримати наступний член.

• Визначення: Постійний коефіцієнт між послідовними членами в геометричній прогресії.
• Обчислення: Розділіть будь-який член на його попередній член, щоб знайти знаменник.

Приклад: У послідовності 2, 4, 8, 16... знаменник дорівнює 4/2 = 2.

• Якщо знаменник більший за 1, послідовність збільшується експоненціально.
• Якщо знаменник знаходиться між 0 і 1, послідовність зменшується експоненціально.
• Якщо знаменник від’ємний, члени чергуються за знаком.

Як робити обчислення геометричної прогресії

Покрокова інструкція

1. Визначте, чи є послідовність геометричною: Перевірте, чи є постійне відношення між послідовними членами.
2. Визначте перший член (a) і знаменник (r): Перший член - це просто перше число в послідовності. Знаменник знаходиться шляхом ділення будь-якого члена на його попередній член.
3. Виберіть відповідну формулу: Залежно від того, що вам потрібно знайти (n-й член, суму членів тощо), виберіть правильну формулу.
4. Підставте значення: Підставте значення a, r і n (якщо потрібно) у формулу.
5. Обчисліть результат: Виконайте обчислення, щоб знайти бажане значення.
6. Перевірте свою відповідь: Чи має ваша відповідь сенс у контексті задачі?

Приклади обчислення геометричної прогресії

Приклад 1: Знаходження n-го члена

Задача: Знайдіть 7-й член геометричної прогресії 4, 8, 16, 32...

1. Геометрична? Так, кожен член множиться на 2, щоб отримати наступний.
2. a та r: a = 4, r = 8/4 = 2
3. Формула: n-й член задається формулою:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

4. Підстановка: Нам потрібен 7-й член, тому n = 7. Отже,

$$a_7 = 4 * 2^(7-1) = 4 * 2^6$$

5. Обчислення:

$$a_7 = 4 * 64 = 256$$

7-й член дорівнює 256. 6. Перевірка: Послідовність продовжується 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Здається, правильно!

Приклад 2: Знаходження суми перших n членів

Задача: Знайдіть суму перших 5 членів геометричної прогресії 1, 2, 4, 8, 16...

1. Геометрична? Так, кожен член множиться на 2.
2. a та r: a = 1, r = 2/1 = 2
3. Формула: Сума перших n членів задається формулою:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

4. Підстановка: Нам потрібна сума перших 5 членів, тому n = 5. Отже,

$$S_5 = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2)$$

5. Обчислення:

$$S_5 = 1 * (1 - 32) / (-1) = 1 * (-31) / (-1) = 31$$

Сума перших 5 членів дорівнює 31. 6. Перевірка: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Здається, правильно!

Приклад 3: Знаходження знаменника

Задача: Перший член геометричної прогресії дорівнює 5, а третій член дорівнює 20. Знайдіть знаменник.

1. Геометрична? Нам сказано, що це геометрична прогресія.
2. a та a_n: a = 5, a_3 = 20
3. Формула:

$$r = (a_n / a)^(1/(n-1))$$

4. Підстановка:

$$r = (20/5)^(1/(3-1)) = (4)^(1/2)$$

5. Обчислення:

$$r = 2$$

Знаменник дорівнює 2. Зауважте, що -2 також є дійсним знаменником, оскільки третій член є додатним, або r = 2, або r = -2 задовольнять умову. 6. Перевірка: 5 * 2 = 10, 10 * 2 = 20. Все працює.

Приклад 4:

Перший член геометричної прогресії дорівнює 3, а знаменник дорівнює 2. Який 6-й член послідовності? Крім того, яка сума перших 6 членів послідовності?

Знаходження 6-го члена:

• Формула: n-й член (a_n) геометричної прогресії задається формулою:

$$a_n = a_1 * r^(n-1)$$

де a_1 - перший член, r - знаменник, а n - номер члена.

• Застосування: У цьому випадку a_1 = 3, r = 2 і n = 6. Отже, 6-й член (a_6) дорівнює:

$$a_6 = 3 * 2^(6-1) = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96$$

Отже, 6-й член послідовності дорівнює 96.

Знаходження суми перших 6 членів:

• Формула: Сума (S_n) перших n членів геометричної прогресії задається формулою:

$$S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)$$

де a_1 - перший член, r - знаменник, а n - кількість членів.

• Застосування: У цьому випадку a_1 = 3, r = 2 і n = 6. Отже, сума перших 6 членів (S_6) дорівнює:

$$S_6 = 3 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = 3 * (1 - 64) / (-1) = 3 * (-63) / (-1) = 3 * 63 = 189$$

Отже, сума перших 6 членів послідовності дорівнює 189.

Тому 6-й член дорівнює 96, а сума перших 6 членів дорівнює 189.

Обчислення геометричної прогресії в реальному світі

Геометричні прогресії з’являються в багатьох реальних сценаріях, часто пов’язаних з експоненціальним зростанням або спадом.

Застосування у фінансах

• Складні відсотки: Сума грошей, зароблених за допомогою складних відсотків, відповідає геометричній прогресії. Щороку залишок множиться на (1 + відсоткова ставка). Приклад: якщо ви вносите 100 на рахунок, який виплачує 5% складних відсотків щорічно, залишки за перші кілька років відповідають геометричній прогресії з a = 100 і r = 1,05: 100, 105, 110,25, ...
• Амортизація: Вартість активу, який амортизується на постійний відсоток щороку, також утворює геометричну прогресію. Приклад: якщо автомобіль коштує 20000 і амортизується на 10% щороку, його вартість щороку відповідає геометричній прогресії з a = 20000 і r = 0,9: 20000, 18000, 16200, ...

Застосування в науці та техніці

• Зростання популяції: За ідеальних умов зростання популяції можна моделювати за допомогою геометричної прогресії. Приклад: якщо популяція бактерій подвоюється щогодини, розмір популяції щогодини відповідає геометричній прогресії з r = 2.
• Радіоактивний розпад: Кількість радіоактивної речовини, що залишилася після кожного періоду напіврозпаду, зменшується в геометричній формі. Приклад: якщо період напіврозпаду радіоактивної речовини становить 1 рік, кількість, що залишилася щороку, відповідає геометричній прогресії з r = 0,5.
• Фрактали: Побудова фракталів часто спирається на геометричні прогресії.
• Інформатика: Аналіз часової складності певних алгоритмів передбачає геометричні прогресії.
• Фізика: Коливання та загасаючі коливання можна моделювати за допомогою геометричних прогресій.

FAQ з обчислення геометричної прогресії

Яка формула для обчислення геометричної прогресії?

Існує кілька ключових формул для геометричних прогресій:

• n-й член:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

де a - перший член, r - знаменник, а n - номер члена.

• Сума перших n членів (r ≠ 1):

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

де a - перший член, r - знаменник, а n - кількість членів.

• Сума перших n членів (r = 1):

$$S_n = n * a$$

• Сума до нескінченності (|r| < 1):

$$S_∞ = a / (1 - r)$$

де a - перший член, а r - знаменник. Ця формула працює лише якщо абсолютне значення знаменника менше 1.

Як знайти n-й член у геометричній прогресії?

Щоб знайти n-й член, використовуйте формулу:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

де:

• a_n - n-й член
• a - перший член послідовності
• r - знаменник
• n - позиція члена, який ви хочете знайти

Приклад: Знайдіть 5-й член послідовності 2, 6, 18,... a = 2, r = 3, n = 5

$$a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162$$

Отже, 5-й член дорівнює 162.

Чи може геометрична прогресія мати знаменник 1?

Так, геометрична прогресія може мати знаменник 1. У цьому випадку всі члени послідовності будуть однаковими.

Приклад: Якщо перший член дорівнює 5, а знаменник дорівнює 1, послідовність буде 5, 5, 5, 5...

Сума перших n членів, коли r = 1, дорівнює просто n*a.

Чим обчислення геометричної прогресії відрізняється від обчислення арифметичної прогресії?

Ключова відмінність полягає в тому, як генеруються члени:

• Геометрична прогресія: Кожен член знаходиться шляхом множення попереднього члена на постійний знаменник.
• Арифметична прогресія: Кожен член знаходиться шляхом додавання постійної різниці до попереднього члена.

Формули також відрізняються:

• Геометричний n-й член:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

• Арифметичний n-й член:

$$a_n = a + (n-1) * d$$

де d - загальна різниця.

• Геометрична сума:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

• Арифметична сума:

$$S_n = n/2 * [2a + (n-1)d]$$

Які найпоширеніші помилки в обчисленні геометричної прогресії?

• Плутанина геометричних і арифметичних прогресій: Завжди перевіряйте, чи послідовність передбачає множення (геометрична) чи додавання (арифметична).
• Неправильне обчислення знаменника: Переконайтеся, що ви ділите член на його попередній член.
• Використання неправильної формули: Використовуйте формули геометричної прогресії лише для геометричних прогресій.
• Ігнорування умови |r| < 1 для суми до нескінченності: Формула суми до нескінченності працює лише тоді, коли абсолютне значення знаменника менше 1. Якщо |r| >= 1, послідовність розходиться, і сума є нескінченною.
• Арифметичні помилки: Перевірте всі обчислення, щоб уникнути простих помилок.
• Забування порядку операцій: Не забудьте застосувати показник степеня перед множенням.