Mathos AI | 등비수열 계산기

등비수열 계산의 기본 개념

등비수열 계산이란 무엇인가?

등비수열 계산은 각 항이 이전 항에 일정한 값을 곱하여 얻어지는 수열을 다루는 것입니다. 이 일정한 값을 공비라고 합니다. 등비수열을 이해하는 것은 여러 연구 분야에서 나타나는 지수적 성장 및 감소와 같은 개념을 파악하는 데 중요합니다. 일정한 차이를 더하는 산술수열과는 달리, 등비수열은 곱셈을 포함합니다.

• Definition: 연속된 항 사이의 비율이 일정한 수열.
• Example: 1, 3, 9, 27, 81... (공비 = 3)
• Contrast with Arithmetic Sequences: 산술수열은 상수를 더하는 반면 (예: 1, 5, 9, 13...), 등비수열은 상수를 곱합니다.

공비 이해하기

공비는 등비수열의 초석입니다. 이는 한 항에 곱하여 다음 항을 얻는 상수 계수입니다.

• Definition: 등비수열에서 연속된 항 사이의 상수 계수.
• Calculation: 공비를 찾으려면 임의의 항을 바로 앞 항으로 나눕니다.

예: 수열 2, 4, 8, 16...에서 공비는 4/2 = 2입니다.

• 공비가 1보다 크면 수열은 기하급수적으로 증가합니다.
• 공비가 0과 1 사이이면 수열은 기하급수적으로 감소합니다.
• 공비가 음수이면 항의 부호가 번갈아 나타납니다.

등비수열 계산 방법

단계별 가이드

1. 수열이 등비인지 확인: 연속된 항 사이에 일정한 비율이 있는지 확인합니다.
2. 첫 번째 항(a)과 공비(r) 결정: 첫 번째 항은 수열의 첫 번째 숫자입니다. 공비는 임의의 항을 바로 앞 항으로 나누어 찾습니다.
3. 적절한 공식 선택: 무엇을 찾아야 하는지 (n번째 항, 항의 합 등)에 따라 올바른 공식을 선택합니다.
4. 값 대입: a, r 및 n (필요한 경우)의 값을 공식에 대입합니다.
5. 결과 계산: 계산을 수행하여 원하는 값을 찾습니다.
6. 답변 확인: 답변이 문제의 맥락 내에서 의미가 있습니까?

등비수열 계산 예

예 1: n번째 항 찾기

문제: 등비수열 4, 8, 16, 32...의 7번째 항을 찾으십시오.

1. 등비? 예, 각 항에 2를 곱하여 다음 항을 얻습니다.
2. a 및 r: a = 4, r = 8/4 = 2
3. 공식: n번째 항은 다음과 같이 주어집니다.

$$a_n = a * r^(n-1)$$

4. 대입: 7번째 항을 원하므로 n = 7입니다. 따라서,

$$a_7 = 4 * 2^(7-1) = 4 * 2^6$$

5. 계산:

$$a_7 = 4 * 64 = 256$$

7번째 항은 256입니다. 6. 확인: 수열은 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256으로 계속됩니다. 맞는 것 같습니다!

예 2: 처음 n개 항의 합 찾기

문제: 등비수열 1, 2, 4, 8, 16...의 처음 5개 항의 합을 찾으십시오.

1. 등비? 예, 각 항에 2를 곱합니다.
2. a 및 r: a = 1, r = 2/1 = 2
3. 공식: 처음 n개 항의 합은 다음과 같이 주어집니다.

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

4. 대입: 처음 5개 항의 합을 원하므로 n = 5입니다. 따라서,

$$S_5 = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2)$$

5. 계산:

$$S_5 = 1 * (1 - 32) / (-1) = 1 * (-31) / (-1) = 31$$

처음 5개 항의 합은 31입니다. 6. 확인: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. 맞는 것 같습니다!

예 3: 공비 찾기

문제: 등비수열의 첫 번째 항은 5이고 세 번째 항은 20입니다. 공비를 찾으십시오.

1. 등비? 등비수열이라고 합니다.
2. a 및 a_n: a = 5, a_3 = 20
3. 공식:

$$r = (a_n / a)^(1/(n-1))$$

4. 대입:

$$r = (20/5)^(1/(3-1)) = (4)^(1/2)$$

5. 계산:

$$r = 2$$

공비는 2입니다. 세 번째 항이 양수이므로 r = 2 또는 r = -2 중 하나가 조건을 충족하므로 -2도 유효한 비율입니다. 6. 확인: 5 * 2 = 10, 10 * 2 = 20. 작동합니다.

예 4:

등비수열의 첫 번째 항은 3이고 공비는 2입니다. 이 수열의 6번째 항은 무엇입니까? 또한 이 수열의 처음 6개 항의 합은 무엇입니까?

6번째 항 찾기:

• 공식: 등비수열의 n번째 항(a_n)은 다음과 같이 주어집니다.

$$a_n = a_1 * r^(n-1)$$

여기서 a_1은 첫 번째 항, r은 공비, n은 항 번호입니다.

• 적용: 이 경우 a_1 = 3, r = 2, n = 6입니다. 따라서 6번째 항(a_6)은 다음과 같습니다.

$$a_6 = 3 * 2^(6-1) = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96$$

따라서 수열의 6번째 항은 96입니다.

처음 6개 항의 합 찾기:

• 공식: 등비수열의 처음 n개 항의 합(S_n)은 다음과 같이 주어집니다.

$$S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)$$

여기서 a_1은 첫 번째 항, r은 공비, n은 항의 수입니다.

• 적용: 이 경우 a_1 = 3, r = 2, n = 6입니다. 따라서 처음 6개 항의 합(S_6)은 다음과 같습니다.

$$S_6 = 3 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = 3 * (1 - 64) / (-1) = 3 * (-63) / (-1) = 3 * 63 = 189$$

따라서 수열의 처음 6개 항의 합은 189입니다.

따라서 6번째 항은 96이고 처음 6개 항의 합은 189입니다.

실제 세계에서의 등비수열 계산

등비수열은 종종 지수적 성장 또는 감소를 다루는 많은 실제 시나리오에 나타납니다.

금융 분야에서의 응용

• 복리: 복리로 얻는 금액은 등비수열을 따릅니다. 매년 잔액에 (1 + 이자율)을 곱합니다. 예: 연간 5% 복리 이자를 지급하는 계좌에 100을 입금하면 처음 몇 년 동안의 잔액은 a = 100, r = 1.05인 등비수열을 따릅니다. 100, 105, 110.25, ...
• 감가상각: 매년 일정한 비율로 감가상각되는 자산의 가치도 등비수열을 형성합니다. 예: 자동차 비용이 20000이고 매년 10%씩 감가상각되는 경우 매년 가치는 a = 20000, r = 0.9인 등비수열을 따릅니다. 20000, 18000, 16200, ...

과학 및 공학 분야에서의 응용

• 인구 증가: 이상적인 조건에서 인구 증가는 등비수열을 사용하여 모델링할 수 있습니다. 예: 박테리아 개체수가 매시간 두 배로 증가하면 매시간 개체수 크기는 r = 2인 등비수열을 따릅니다.
• 방사성 붕괴: 각 반감기 후에 남은 방사성 물질의 양은 기하급수적으로 감소합니다. 예: 방사성 물질의 반감기가 1년이면 매년 남은 양은 r = 0.5인 등비수열을 따릅니다.
• 프랙탈: 프랙탈 구성은 종종 등비수열에 의존합니다.
• 컴퓨터 과학: 특정 알고리즘의 시간 복잡도 분석에는 등비 진행이 포함됩니다.
• 물리학: 진동 및 감쇠 진동은 등비수열을 사용하여 모델링할 수 있습니다.

등비수열 계산에 대한 FAQ

등비수열 계산 공식은 무엇입니까?

등비수열에는 몇 가지 주요 공식이 있습니다.

• n번째 항:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

여기서 a는 첫 번째 항, r은 공비, n은 항 번호입니다.

• 처음 n개 항의 합 (r ≠ 1):

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

여기서 a는 첫 번째 항, r은 공비, n은 항의 수입니다.

• 처음 n개 항의 합 (r = 1):

$$S_n = n * a$$

• 무한대까지의 합 (|r| < 1):

$$S_∞ = a / (1 - r)$$

여기서 a는 첫 번째 항이고 r은 공비입니다. 이 공식은 공비의 절대값이 1보다 작은 경우에만 작동합니다.

등비수열에서 n번째 항을 어떻게 찾습니까?

n번째 항을 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.

$$a_n = a * r^(n-1)$$

여기서:

• a_n은 n번째 항입니다.
• a는 수열의 첫 번째 항입니다.
• r은 공비입니다.
• n은 찾으려는 항의 위치입니다.

예: 수열 2, 6, 18,...의 5번째 항을 찾으십시오. a = 2, r = 3, n = 5

$$a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162$$

따라서 5번째 항은 162입니다.

등비수열의 공비가 1일 수 있습니까?

예, 등비수열은 공비가 1일 수 있습니다. 이 경우 수열의 모든 항은 동일합니다.

예: 첫 번째 항이 5이고 공비가 1이면 수열은 5, 5, 5, 5...가 됩니다.

r = 1일 때 처음 n개 항의 합은 단순히 n*a입니다.

등비수열 계산은 산술수열 계산과 어떻게 다릅니까?

주요 차이점은 항이 생성되는 방식에 있습니다.

• 등비수열: 각 항은 이전 항에 일정한 비율을 곱하여 찾습니다.
• 산술수열: 각 항은 이전 항에 일정한 차이를 더하여 찾습니다.

공식도 다릅니다.

• 등비 n번째 항:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

• 산술 n번째 항:

$$a_n = a + (n-1) * d$$

여기서 d는 공차입니다.

• 등비 합:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

• 산술 합:

$$S_n = n/2 * [2a + (n-1)d]$$

등비수열 계산에서 흔히 발생하는 실수는 무엇입니까?

• 등비수열과 산술수열 혼동: 수열이 곱셈(등비)인지 덧셈(산술)인지 항상 다시 확인하십시오.
• 공비 잘못 계산: 항을 바로 앞 항으로 나누는지 확인하십시오.
• 잘못된 공식 사용: 등비수열 공식은 등비수열에만 사용하십시오.
• 무한대까지의 합에 대한 |r| < 1 조건 무시: 무한대까지의 합 공식은 공비의 절대값이 1보다 작은 경우에만 작동합니다. |r| >= 1이면 수열이 발산하고 합은 무한대입니다.
• 산술 오류: 간단한 실수를 피하기 위해 모든 계산을 다시 확인하십시오.
• 연산 순서 잊음: 곱셈 전에 지수를 적용해야 함을 기억하십시오.