Mathos AI | प्रायिकता कैलकुलेटर: 3 घटनाएँ

3 घटनाओं की प्रायिकता गणना की मूल अवधारणा

3 घटनाओं की प्रायिकता गणना क्या है?

तीन घटनाओं से जुड़ी प्रायिकता गणना तीन संभावित घटनाओं में से एक या अधिक घटनाओं के घटित होने की संभावना का निर्धारण करने से संबंधित है। प्रायिकता शब्दों में एक 'घटना' एक यादृच्छिक प्रयोग से परिणामों का एक समूह है। हम यह समझना चाहते हैं कि इन घटनाओं के व्यक्तिगत रूप से, एक साथ या विशिष्ट संयोजनों में घटित होने की संभावनाओं को कैसे खोजा जाए।

घटनाओं के उदाहरण:

• घटना A: पासा फेंकना और 2 प्राप्त करना।
• घटना B: सिक्का उछालना और चित प्राप्त करना।
• घटना C: एक बैग से एक हरा कंचा निकालना।

जब हम तीन घटनाओं के साथ प्रायिकता गणना पर चर्चा करते हैं, तो हम निम्नलिखित जैसे परिदृश्यों पर विचार कर रहे हैं:

• घटना A या घटना B या घटना C होने की क्या संभावना है?
• घटना A और घटना B और घटना C सभी के होने की क्या संभावना है?
• घटना A के घटने की क्या संभावना है यह देखते हुए कि घटना B और घटना C पहले ही घट चुकी हैं?

इन्हें हल करने के लिए, हम विशिष्ट सूत्रों का उपयोग करते हैं और इस बात पर विचार करने की आवश्यकता है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं (एक घटना दूसरों को प्रभावित नहीं करती है) या आश्रित (एक घटना दूसरे को प्रभावित करती है) और यदि वे पारस्परिक रूप से अनन्य हैं (एक ही समय में नहीं हो सकतीं)।

3 घटनाओं की प्रायिकता गणना कैसे करें

चरण दर चरण गाइड

तीन घटनाओं के साथ प्रायिकता गणनाओं तक पहुंचने के तरीके का विवरण यहां दिया गया है, साथ ही उदाहरण भी दिए गए हैं:

1. अपनी घटनाओं को परिभाषित करें

स्पष्ट रूप से उन तीन घटनाओं की पहचान करें जिनके साथ आप काम कर रहे हैं। उन्हें A, B और C जैसे लेबल असाइन करें।

उदाहरण:

• A = ताश के पत्तों की गड्डी से इक्का निकालना।
• B = छह तरफा पासे पर 4 रोल करना।
• C = 3 बराबर वर्गों (लाल, नीला, हरा) के साथ एक स्पिनर को घुमाना और हरे रंग पर उतरना।

2. प्रत्येक व्यक्तिगत घटना की प्रायिकता निर्धारित करें

प्रत्येक घटना के अपने आप घटित होने की प्रायिकता की गणना करें।

• P(A): घटना A की प्रायिकता
• P(B): घटना B की प्रायिकता
• P(C): घटना C की प्रायिकता

उदाहरण (ऊपर से जारी):

• P(A) = 4/52 = 1/13 (52-कार्ड डेक में 4 इक्के हैं)।
• P(B) = 1/6 (छह तरफा पासे पर एक 4 होता है)।
• P(C) = 1/3 (तीन में से एक हरा खंड)।

3. घटनाओं के बीच संबंध निर्धारित करें

क्या घटनाएँ हैं:

• स्वतंत्र? एक का परिणाम दूसरों को प्रभावित नहीं करता है। (उदाहरण के लिए, सिक्के उछालना, पासा पलटना)।
• आश्रित? एक का परिणाम दूसरों की प्रायिकता को बदल देता है। (उदाहरण के लिए, बिना प्रतिस्थापन के कार्ड निकालना)।
• परस्पर अनन्य? वे एक ही समय में नहीं हो सकते। (उदाहरण के लिए, एक ही पासे पर 1 और 6 रोल करना)।

4. उपयुक्त सूत्र लागू करें

यहीं पर यह विशिष्ट हो जाता है। यहां प्रमुख सूत्र दिए गए हैं:

A. A या B या C की प्रायिकता (घटनाओं का संघ)

यह गणना करता है कि कम से कम एक घटना घटित होती है।

• सामान्य मामला (घटनाएँ पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं हैं):

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \text{ and } B) - P(A \text{ and } C) - P(B \text{ and } C) + P(A \text{ and } B \text{ and } C)$$

स्पष्टीकरण: हम व्यक्तिगत प्रायिकताओं को जोड़ते हैं, प्रत्येक जोड़ी की घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकताओं को घटाते हैं (दोहरी गणना से बचने के लिए), और फिर सभी तीन घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता को वापस जोड़ते हैं (क्योंकि इसे बहुत बार घटाया गया था)।

• विशेष मामला (घटनाएँ पारस्परिक रूप से अनन्य हैं):

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

स्पष्टीकरण: चूंकि घटनाएँ एक ही समय में नहीं हो सकती हैं, इसलिए प्रतिच्छेदन प्रायिकताएँ शून्य हैं।

उदाहरण (सामान्य मामला):

एक निष्पक्ष छह तरफा पासा रोल करने पर विचार करें। चलो:

• A = सम संख्या रोल करना (2, 4 या 6)।
• B = 3 से बड़ी संख्या रोल करना (4, 5 या 6)।
• C = 6 रोल करना।

फिर:

• P(A) = 3/6 = 1/2
• P(B) = 3/6 = 1/2
• P(C) = 1/6
• P(A और B) = P(4 या 6 रोल करना) = 2/6 = 1/3
• P(A और C) = P(6 रोल करना) = 1/6
• P(B और C) = P(6 रोल करना) = 1/6
• P(A और B और C) = P(6 रोल करना) = 1/6

इसलिए:

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = (1/2) + (1/2) + (1/6) - (1/3) - (1/6) - (1/6) + (1/6)$$ $$= (3 + 3 + 1 - 2 - 1 - 1 + 1) / 6$$ $$= 4/6 = 2/3$$

उदाहरण (परस्पर अनन्य मामला):

एक निष्पक्ष छह तरफा पासा रोल करने पर विचार करें। चलो:

• A = 1 रोल करना
• B = 2 रोल करना
• C = 3 रोल करना

ये घटनाएँ पारस्परिक रूप से अनन्य हैं।

• P(A) = 1/6
• P(B) = 1/6
• P(C) = 1/6

इसलिए:

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = (1/6) + (1/6) + (1/6) = 3/6 = 1/2$$

B. A और B और C की प्रायिकता (घटनाओं का प्रतिच्छेदन)

यह गणना करता है कि सभी घटनाएँ घटित होती हैं।

• स्वतंत्र घटनाएँ:

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = P(A) * P(B) * P(C)$$

• आश्रित घटनाएँ (सशर्त प्रायिकता का उपयोग करके):

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A \text{ and } B)$$

स्पष्टीकरण: P(B|A) B की प्रायिकता है यह देखते हुए कि A पहले ही घटित हो चुका है। P(C|A और B) C की प्रायिकता है यह देखते हुए कि A और B दोनों पहले ही घटित हो चुके हैं।

उदाहरण (स्वतंत्र घटनाएँ):

मान लीजिए कि आप एक निष्पक्ष सिक्का तीन बार उछालते हैं। चलो:

• A = पहले उछाल पर चित प्राप्त करना।
• B = दूसरे उछाल पर चित प्राप्त करना।
• C = तीसरे उछाल पर चित प्राप्त करना।

ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

• P(A) = 1/2
• P(B) = 1/2
• P(C) = 1/2

इसलिए:

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8$$

उदाहरण (आश्रित घटनाएँ):

मान लीजिए कि आपके पास एक बैग में 4 पीले गेंद और 2 हरे गेंद हैं। आप बिना प्रतिस्थापन के तीन गेंदें निकालते हैं। चलो:

• A = पहले ड्रा पर एक पीली गेंद निकालना।
• B = दूसरे ड्रा पर एक पीली गेंद निकालना।
• C = तीसरे ड्रा पर एक पीली गेंद निकालना।

ये घटनाएँ आश्रित हैं।

• P(A) = 4/6 = 2/3
• P(B|A) = 3/5 (यह देखते हुए कि आपने पहले एक पीली गेंद निकाली, 3 पीली और 2 हरी बची हैं)
• P(C|A और B) = 2/4 = 1/2 (यह देखते हुए कि आपने दो पीली गेंदें निकालीं, 2 पीली और 2 हरी बची हैं)

इसलिए:

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = (2/3) * (3/5) * (1/2) = 6/30 = 1/5$$

C. तीन घटनाओं के साथ सशर्त प्रायिकता

यह गणना करता है कि एक घटना के घटने की प्रायिकता यह देखते हुए कि अन्य घटनाएँ पहले ही घट चुकी हैं।

$$P(A| B \text{ and } C) = \frac{P(A \text{ and } B \text{ and } C)}{P(B \text{ and } C)}$$

उदाहरण:

4 पीले और 2 हरे गेंदों वाले बैग का उपयोग करते हुए, और बिना प्रतिस्थापन के आरेखण: पहली बार पीली गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है, यह देखते हुए कि दूसरे और तीसरे ड्रॉ में पीली गेंदें निकलीं?

• A = पहले ड्रा पर एक पीली गेंद निकालना।
• B = दूसरे ड्रा पर एक पीली गेंद निकालना।
• C = तीसरे ड्रा पर एक पीली गेंद निकालना।

हम P(A | B और C) ज्ञात करना चाहते हैं।

हम पहले से ही जानते हैं कि P(A और B और C) = 1/5। अब हमें P(B और C) की गणना करने की आवश्यकता है। इसका मतलब है कि दूसरे ड्रा पर पीली गेंद निकालना और तीसरे ड्रा पर पीली गेंद निकालना।

P(B और C) की गणना करने के लिए, हम दो संभावित परिदृश्यों पर विचार करते हैं:

1. हमने पहले पीली, फिर पीली, फिर पीली (YYY) निकाली। प्रायिकता (4/6)(3/5)(2/4) = 1/5 है
2. हमने पहले हरी, फिर पीली, फिर पीली (GYY) निकाली। प्रायिकता (2/6)(4/5)(3/4) = 1/5 है

तो, P(B और C) दूसरे और तीसरे गेंद के रूप में पीली गेंद निकालने की प्रायिकता है जो हैं: P(YYY) + P(GYY) = 1/5 + 1/5 = 2/5

इसलिए:

$$P(A | B \text{ and } C) = \frac{1/5}{2/5} = 1/2$$

5. अपने उत्तर की जाँच करें

• प्रायिकताएँ हमेशा 0 और 1 के बीच होनी चाहिए।
• क्या आपका उत्तर परिदृश्य को देखते हुए तार्किक रूप से समझ में आता है?

वास्तविक दुनिया में 3 घटनाओं की प्रायिकता गणना

तीन घटनाओं से जुड़ी प्रायिकता गणनाएँ कई वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में पाई जाती हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• मौसम का पूर्वानुमान: एक मौसम पूर्वानुमानकर्ता तीन घटनाओं पर विचार कर सकता है: A = कल बारिश, B = तापमान 25 डिग्री सेल्सियस से ऊपर, और C = हवा की गति 30 किमी/घंटा से अधिक। फिर वे तीनों के घटित होने की प्रायिकता, या तापमान अधिक होने और हवा तेज होने पर बारिश की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं।

• चिकित्सीय निदान: एक डॉक्टर एक मरीज के लक्षणों को देखते हुए तीन संभावित स्थितियों पर विचार कर सकता है: A = रोग X, B = रोग Y, C = रोग Z। परीक्षण परिणामों और लक्षणों के आधार पर, वे प्रत्येक रोग की प्रायिकता, या कुछ परीक्षण परिणामों को देखते हुए रोग X होने की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं।

• विनिर्माण गुणवत्ता नियंत्रण: एक कारखाना जो प्रकाश बल्बों का उत्पादन करता है, तीन घटनाओं का विश्लेषण कर सकता है: A = एक बल्ब दोषपूर्ण है, B = एक बल्ब की चमक मानक से कम है, और C = एक बल्ब का जीवनकाल अपेक्षा से कम है। वे एक बल्ब में इनमें से एक या अधिक दोष होने की संभावना का निर्धारण करने और तदनुसार विनिर्माण प्रक्रिया को समायोजित करने के लिए प्रायिकता का उपयोग कर सकते हैं।

• खेल विश्लेषिकी: एक बास्केटबॉल खेल में, घटनाएँ A, B और C क्रमशः एक खिलाड़ी के सफलतापूर्वक एक फ्री थ्रो करने, 3-पॉइंट शॉट बनाने और रिबाउंड प्राप्त करने का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। विश्लेषक खिलाड़ी के प्रदर्शन को समझने और परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए इन प्रायिकताओं का उपयोग करते हैं।

• वित्तीय जोखिम मूल्यांकन: वित्त में, घटनाएँ A, B और C क्रमशः स्टॉक की कीमत में वृद्धि, ब्याज दरों में कमी और मुद्रास्फीति स्थिर रहने का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। निवेश जोखिम का आकलन करने में प्रायिकता गणनाएँ महत्वपूर्ण हैं।

3 घटनाओं की प्रायिकता गणना के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

3 घटनाओं की प्रायिकता की गणना करने का सूत्र क्या है?

विशिष्ट सूत्र इस बात पर निर्भर करता है कि आप क्या गणना करना चाहते हैं:

• A या B या C की प्रायिकता (कम से कम एक घटना घटित होती है):

• सामान्य मामला (परस्पर अनन्य नहीं):

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

• परस्पर अनन्य:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

• A और B और C की प्रायिकता (सभी घटनाएँ घटित होती हैं):

• स्वतंत्र:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) * P(B) * P(C)$$

• आश्रित:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A \cap B)$$

• B और C को देखते हुए A की सशर्त प्रायिकता:

$$P(A | B \cap C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}$$

स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ प्रायिकता गणनाओं को कैसे प्रभावित करती हैं?

• स्वतंत्र घटनाएँ: एक घटना का घटित होना दूसरी घटनाओं की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करता है। इससे गणनाएँ सरल हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, स्वतंत्र घटनाओं A, B और C के साथ, P(A और B और C) = P(A) * P(B) * P(C)।

• आश्रित घटनाएँ: एक घटना का घटित होना बाद की घटनाओं की प्रायिकताओं को बदल देता है। इसके लिए आपको सशर्त प्रायिकता का उपयोग करना होगा। उदाहरण के लिए, P(A और B और C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A और B)। B की प्रायिकता इस बात पर निर्भर करती है कि A घटित हुआ है या नहीं, और C की प्रायिकता इस बात पर निर्भर करती है कि A और B दोनों घटित हुए हैं या नहीं।

उदाहरण:

एक बैग से गेंदें निकालने की कल्पना करें। यदि आप प्रत्येक ड्रा के बाद गेंद को बदल देते हैं (स्वतंत्र), तो प्रायिकताएँ समान रहती हैं। यदि आप गेंद को नहीं बदलते हैं (आश्रित), तो प्रत्येक ड्रा के साथ प्रायिकताएँ बदल जाती हैं क्योंकि बैग की संरचना बदल जाती है।

क्या 3 घटनाओं के लिए प्रायिकता गणनाओं को किसी भी परिदृश्य पर लागू किया जा सकता है?

हाँ, सैद्धांतिक रूप से, तीन घटनाओं के लिए प्रायिकता गणनाओं को किसी भी परिदृश्य पर लागू किया जा सकता है जहाँ आपके पास तीन परिभाषित घटनाएँ हैं और आप उन घटनाओं के विभिन्न संयोजनों के घटित होने की संभावना का निर्धारण करना चाहते हैं। हालाँकि, गणना की जटिलता घटनाओं की प्रकृति (स्वतंत्र बनाम आश्रित, पारस्परिक रूप से अनन्य बनाम नहीं) और प्रायिकताओं का अनुमान लगाने के लिए डेटा की उपलब्धता के आधार पर बहुत भिन्न हो सकती है। कुछ वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में, व्यक्तिगत घटनाओं और उनकी निर्भरताओं की प्रायिकताओं को सटीक रूप से निर्धारित करना चुनौतीपूर्ण हो सकता है, जो इन गणनाओं की व्यावहारिक प्रयोज्यता को सीमित कर सकता है।

3 घटनाओं की प्रायिकता की गणना करने में कौन से उपकरण सहायता कर सकते हैं?

कई उपकरण इन गणनाओं में मदद कर सकते हैं:

• कैलकुलेटर: बुनियादी कैलकुलेटर सरल गणनाओं को संभाल सकते हैं, खासकर स्वतंत्र घटनाओं के साथ। वैज्ञानिक कैलकुलेटर अधिक जटिल गणनाओं के लिए सहायक होते हैं।
• स्प्रेडशीट सॉफ़्टवेयर (उदाहरण के लिए, एक्सेल, गूगल शीट्स): ये प्रोग्राम प्रायिकता गणना कर सकते हैं, डेटा स्टोर कर सकते हैं और विज़ुअलाइज़ेशन बना सकते हैं। वे सशर्त प्रायिकताओं के लिए बहुत उपयोगी हैं।
• सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर (उदाहरण के लिए, R, NumPy और SciPy जैसी लाइब्रेरीज़ के साथ पायथन): ये उपकरण उन्नत सांख्यिकीय फ़ंक्शन प्रदान करते हैं और जटिल प्रायिकता मॉडल, सिमुलेशन और बड़े डेटासेट से निपटने के लिए उपयोगी हैं।
• वेन आरेख: प्रति से गणना उपकरण नहीं होने पर, वेन आरेख घटनाओं के बीच संबंधों को विज़ुअलाइज़ करने और यह समझने के लिए सहायक होते हैं कि आपको किन प्रायिकताओं की गणना करने की आवश्यकता है।
• ऑनलाइन प्रायिकता कैलकुलेटर: कई वेबसाइटें विशेष रूप से प्रायिकता गणनाओं के लिए डिज़ाइन किए गए कैलकुलेटर प्रदान करती हैं, जिनमें कई घटनाओं से संबंधित भी शामिल हैं। बस 'प्रायिकता कैलकुलेटर 3 घटनाएँ' खोजें।
• गणितीय सॉफ़्टवेयर (जैसे Mathos AI): ये उपकरण प्रतीकात्मक और संख्यात्मक गणनाएँ कर सकते हैं और त्वरित रूप से परिणाम प्राप्त करने और विभिन्न प्रायिकता परिदृश्यों की खोज करने के लिए अच्छे हैं।

सशर्त प्रायिकता 3 घटना गणनाओं से कैसे संबंधित है?

जब आप आश्रित घटनाओं से निपट रहे हों तो सशर्त प्रायिकता महत्वपूर्ण होती है। यह आपको एक घटना के घटित होने की प्रायिकता की गणना करने की अनुमति देता है यह देखते हुए कि एक या अधिक अन्य घटनाएँ पहले ही घटित हो चुकी हैं।

तीन घटनाओं के संदर्भ में:

• P(A|B) A के घटित होने की प्रायिकता है यह देखते हुए कि B घटित हो चुका है।
• P(A|B और C) A के घटित होने की प्रायिकता है यह देखते हुए कि दोनों B और C घटित हो चुके हैं।

ये सशर्त प्रायिकताएँ आश्रित घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता की गणना के लिए आवश्यक हैं: P(A और B और C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A और B)। सशर्त प्रायिकता के बिना, आप घटनाओं के आश्रित होने पर प्रायिकताओं की सटीक गणना नहीं कर सकते।