泰勒與麥克勞林級數 flashcards

Question 1

什麼是以 $a$ 為中心的冪級數？

Accepted Answer

形如 $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ 的無窮級數，其中 $c_n$ 為常數，$a$ 為中心。

Question 2

寫出 $\cos x$ 的麥克勞林級數。

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$（對所有 $x$ 皆收斂）。

Question 3

使用比值判別法求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ 的收斂半徑。

Accepted Answer

令 $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. 則 $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ 當 $|x-2|<1$ 時收斂，因此 $R=1$。

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