一階微分方程式 Flashcards

Question 1

什麼是一階常微分方程式（ODE）？

Accepted Answer

將未知函數 $y(x)$ 與其一階導數 $y'$ 建立關係的方程式，形式為 $F(x,y,y')=0$（或解成 $y'=f(x,y)$）。

Question 2

寫出 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的積分因子公式。

Accepted Answer

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$ 將 ODE 乘上 $\mu$ 後，左邊會變成 $(\mu y)'$。

Question 3

如何檢驗恰當性，並在 $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0$ 為恰當方程時求解？

Accepted Answer

檢驗：$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$$ 若為恰當方程，找 $\psi$ 使得 $\psi_x=M$，先對 $x$ 積分： $\psi=\int M\,dx + g(y)$，再用 $\psi_y=N$ 來決定 $g(y)$。解為 $\psi(x,y)=C$。

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