圓錐曲線閃卡：從拋物線到雙曲線

Question 1

寫出圓的標準式方程。

Accepted Answer

$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$ 圓心為 $(h,k)$，半徑為 $r>0$。

Question 2

對 $\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y+1)^2}{9}=1$，求焦點。

Accepted Answer

$c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$。中心為 $(2,-1)$。焦點為 $(2\pm4,-1)$，即 $(-2,-1)$ 與 $(6,-1)$。

Question 3

圓錐曲線的標準式與一般式有何差別？

Accepted Answer

標準式已配方完成，能直接看出圖形特徵（中心/頂點、$a,b,r$、焦點、漸近線）。一般式為 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$（通常需配方/旋轉才能判別圓錐曲線並找出其特徵）。

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