關於 AP 微積分你需要知道的一切

AP 微積分是一門具有挑戰性的大學級數學課程，幫助高中生學習微積分的基本知識。AP 微積分分為兩個級別：AP 微積分 AB 和 AP 微積分 BC。微積分 AB 專注於介紹性主題，如極限、導數和基本積分，而微積分 BC 則在微積分 AB 的基礎上，涵蓋更高級的內容，如積分技術、數列和級數。完成任一課程都可以獲得大學學分，並為追求 STEM 領域高等教育的學生提供顯著的優勢。

在 AP 微積分 AB 和 BC 之間選擇？我們整理了這份全面的指南，幫助你決定哪個 AP 數學最適合你，並提供一些幫助你在 AP 微積分中取得好成績的技巧。

AP 微積分 AB 和 AP 微積分 BC 之間的差異

AP 微積分 AB 和 AP 微積分 BC 是兩門 高級先修 (AP) 課程和考試，由 大學理事會 提供，適合希望學習大學級微積分的高中生。雖然這兩門課程涵蓋了基本的微積分概念，但在範圍和深度上有所不同。

特徵	AP 微積分 AB	AP 微積分 BC
材料深度	大學第一學期微積分	大學第一和第二學期微積分
主題	極限與連續性導數及其應用積分及其應用微積分基本定理微分方程（基本介紹）	微積分 AB 中涵蓋的所有內容參數、極坐標和向量函數進階積分技術數列和級數微分方程和斜率場（更深入）
進度	較慢	較快且更嚴謹
獲得學分	3-4 學分	8-10 學分
最適合	微積分初學者或非 STEM 學生	對數學有信心或追求 STEM 的學生

你應該選擇哪一門 AP 微積分課程？讓我們詳細看看這兩門課程，首先是 AP 微積分 AB。

AP 微積分 AB 課程概述

AP Calculus AB 涵蓋與第一學期大學微積分課程相當的主題，專注於基礎微積分概念，如極限、導數和基本積分。您還將獲得批判性思維、問題分析和解決的技能。

以下是 AP Calculus AB 課程內容的快速概述：

• 極限 描述了一個函數在其輸入（通常稱為 x）越來越接近特定值時的行為。想像一個簡單的函數，如 f(x) = x + 1。

這個函數是 f(x) = x + 1，這意味著無論您為 x 插入什麼值，您只需加 1。因此，我們說當 x 越來越接近 2 時，f(x) 的值越來越接近 3。

解法： f(x) = 2 + 1 = 3

極限對於解決物理、工程和其他領域的問題至關重要，因為它們有助於分析函數未定義或存在間隙的點。

• 導數 用於測量函數在特定點的 變化率。應用包括 速度（位置隨時間的變化率）、加速度（速度隨時間的變化率）和 優化（函數的最大或最小值）。

想像一位農夫擁有 100 米的圍欄來建造一個矩形圍欄。什麼尺寸可以最大化面積？

以下是您可以解決它的方法：

• 讓 l 為長度，w 為寬度。周長 P = 2l + 2w = 100，因此 y = 50 − x。
• 面積是 P = l⋅w = l(50−l) = 50l − l^2。
• 求導：P′(l) = 50 − 2l。
• 設 P′(l)= 0: 50 − 2l = 0  ⟹  l = 25。
• 尺寸：l = 25（長度），w = 25（寬度）

最大化面積的尺寸是 25 公尺乘 25 公尺，最大面積為：P = 25 x 25 = 625 平方公尺。

如果你對這個例子感到困惑，並想看到詳細的解釋，你可以在 Mathos AI 中輸入問題，並查看逐步解決方案。

• 積分 用於找出曲線下的面積。這裡是一個你在 AP 微積分 AB 課程中將學到的例子，要求你找出曲線 f(x) = 2x + 3 從 x = 0 到 x = 4 的面積。

積分可以解決物理學、幾何學、數量的累積、增長/衰減（以人口增長為例）和優化等問題。

• AP 微積分 AB 中的導數和積分的應用 不僅僅是理論，它們是解決物理學、工程學、經濟學、生物學和其他領域現實問題的強大工具。

例如，在物理學中，您可以使用導數來測量變化率。在商業和經濟學中，您需要積分和導數來分析成本、利潤和收入函數。

AP 微積分 AB 考試

AP 微積分 AB 考試持續 3 小時 15 分鐘，分為 兩個部分（選擇題和自由回答）。考試的某些部分不允許使用計算器。在考試前查看 AP 考試計算器政策 和 批准的圖形計算器。

考試包括各種類型的函數問題 代數、指數、對數、三角，以及不同的表示方式（分析、圖形、表格和口頭）。

45 選擇題 | 1 小時 45 分鐘 | 50% 考試成績

• A 部分：60 分鐘內 30 題。不允許使用計算器
• B 部分：45 分鐘內 15 題。需要圖形計算器

6 選擇題 | 1 小時 30 分鐘 | 50% 考試成績

• A 部分：30 分鐘內 2 題。需要圖形計算器
• B 部分：60 分鐘內 4 題。不允許使用計算器

AP 微積分 AB 考試問題

以下是一些來自過去 AP 微積分 AB 考試的問題（來自 College Board），以便讓您了解考試的樣子。

AP 微積分 AB 考試選擇題 A 部分範例：

設 $f$ 為函數，定義為 $f(x)=300 x-x^3$。在以下哪個區間內，函數 $f$ 是遞增的？

(A) $(-\infty,-10$ 和 $[10, \infty$)

(B) $[-10,10$]

(C) $[0,10$ 只有]

(D) $[0,10 \sqrt{3}$ 只有]

(E) $[0, \infty$]

AP 微積分 AB 考試選擇題 B 部分範例：

一個粒子沿著 $x$ 軸運動。粒子在時間 $t$ 的速度由 $v(t)$ 給出，而粒子在時間 $t$ 的加速度由 $a(t)$ 給出。以下哪一項給出了粒子從時間 $t=0$ 到時間 $t=8$ 的平均速度？

(A) $\frac{a(8)-a(0)}{8}$

(B) $\frac{1}{8} \int_0^8 v(t) d t$

(C) $\frac{1}{8} \int_0^8|v(t)| d t$

(D) $\frac{1}{2} \int_0^8 v(t) d t$

(E) $\frac{v(0)+v(8)}{2}$

AP 微積分 AB 考試自由回應問題範例 A：

一個粒子沿著 $x$ 軸移動，其在時間 $t \geq$ 的速度由 $v(t)=\ln \left(t^2-4 t+5\right)-0.2 t$ 給出。

(a) 在區間 $0<t<2$ 中，有一個時間 $t=t_R$，當粒子靜止（不移動）。找出 $t_R$。對於 $0<t<t_R$，粒子是向右移動還是向左移動？請給出理由。

(b) 在時間 $t=1.5$ 時，找出粒子的加速度。顯示計算的設置。在時間 $t=1$ 時，粒子的速度是增加還是減少？解釋你的推理。

(c) 粒子在時間 $t$ 的位置為 $x(t)$，而在時間 $t=$ 時的位置為 $x(1)=-3$。找出粒子在時間 $t=4$ 的位置。顯示計算的設置。

(d) 找出粒子在區間 $1 \leq t \leq 4$ 中移動的總距離。顯示計算的設置。

AP 微積分 AB 考試自由回應問題範例 B：

在 $-6 \leq x \leq 7$ 的可微函數 $f$ 的圖形，在 $x=-$ 處有一個水平切線，並且在 $0 \leq x \leq 7$ 之間是線性的。令 $R$ 為第二象限中由 $f$ 的圖形、垂直線 $x=-6$ 以及 $x$ 軸和 $y$ 軸所界定的區域。區域 $R$ 的面積為 12。

(a) 函數 $g$ 定義為 $g(x)=\int_0^x f(t) d t$。找出 $g(-6), g(4)$ 和 $g(6)$ 的值。

(b) 對於在 (a) 部分定義的函數 $g$，找出在區間 $0 \leq x \leq$ 中圖形有臨界點的所有 $x$ 值。給出你的答案的理由。

(c) 函數 $h$ 定義為 $h(x)=\int_{-6}^x f^{\prime}(t) d t$。找出 $h(6)$、$h^{\prime}(6)$ 和 $h^{\prime \prime}(6)$ 的值。顯示導致你答案的工作。

AP 微積分 BC 課程概述

AP 微積分 BC 涵蓋了微積分 AB 中教授的所有主題，以及更高級的主題，如 參數方程、極座標、向量值函數以及無限序列和級數。以下是額外主題的快速概述：

• 參數方程 表達一個點的坐標以第三個變量為基礎，通常表示為 t。參數方程不是直接關聯 x 和 y，而是將 x 和 y 定義為 t 的函數。

參數方程的一個簡單例子是圓的表示：x = r cos(t)，y = r sin(t)，其中 r 是圓的半徑，t 是範圍從 0 到 2π 的參數。

• 極座標 是一種二維坐標系，其中平面上的每個點由距離固定點的距離和從固定方向的角度來確定。極座標中的一個點寫作 (r, θ)。

極函數的一個例子是心形線：r = 1 + cos⁡(θ)。

• 向量值函數 是一種數學函數，它接受一個或多個變量作為輸入，並返回一個向量作為輸出。這些函數在描述空間中的運動、曲線和物理現象方面非常有用。

例如，一個向量值的螺旋函數：r(t)= (cos⁡(t), sin⁡(t), t) 通過圍繞 (cos(t), sin(t)) 旋轉並垂直上升 (t) 來創建一條螺旋路徑。隨著 t 的增加，路徑向上纏繞並上升。

• 無限序列 是一個數字的有序列表，無限延續。序列中的每個數字稱為 項，項在序列中的位置通常用 n 表示，其中 n=1,2,3,…，因此無限序列表示為：a1,a2,a3,… 無限級數 是無限序列的項的總和。你可以將其寫為 a1 + a2 + a3 + …

請參見這個無限級數的總和示例：

想要查看方程的詳細解釋嗎？您可以將其提交給 Mathos AI 數學解決器，以幫助您更好地理解這個概念。

Mathos AI 提供各種數學問題的高精度解決方案，從基礎方程到高級微積分。其複雜的算法和強大的錯誤檢查確保了精確性，而其解題功能則旨在最小化不準確性。您會發現解決方案被分解為幾個重要部分。

AP 微積分 BC 考試

AP 微積分 BC 考試的格式與 AP 微積分 AB 考試相同。考試時間為 3 小時 15 分鐘，分為 選擇題和自由回答題部分。

AP 微積分 BC 考試通過多樣的函數類型和表示方式來測試學生的理解，涵蓋從代數到三角函數，並以分析、圖形和口頭方式呈現。考試在程序技能和概念知識之間取得平衡，融入現實世界的情境以展示實際的數學應用。

以下是 AP 微積分 BC 考試格式的詳細分解：

45 道選擇題 | 1 小時 45 分鐘 | 50% 考試分數

• A 部分：60 分鐘內 30 道題目。不允許使用計算器
• B 部分：45 分鐘內 15 道題目。需要使用圖形計算器

6 道自由回答題 | 1 小時 30 分鐘 | 50% 考試分數

• A 部分：30 分鐘內 2 道題目。需要使用圖形計算器
• B 部分：60 分鐘內 4 道題目。不允許使用計算器

AP 微積分 BC 考試問題

以下是一些來自過去 AP 微積分 BC 考試的問題（來自 College Board），以便讓您了解考試的樣子。

AP 微積分 BC 考試選擇題 A 部分的範例問題：

對於 $x>0$，冪級數 $1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)!}+\cdot$ 收斂到以下哪一項？

(A) $\cos$

(B) $\sin$

(C) $\frac{\sin x}{x}$

(D) $e^x-e^{x^2}$

(E) $1+e^x-e^{x^2}$

AP 微積分 BC 考試選擇題範例 B 部分:

對於 $-1.5<x<1.5$，設 $f$ 為一個函數，其一階導數為 $f^{\prime}(x)=e^{\left(x^4-2 x^2+1\right)}-2$。以下哪一項是 $f$ 的圖形為凹向下的所有區間？

(A) $(-0.418,0.418$） 只有

(B) $(-1,1$)

(C) $(-1.354,-0.409$ 和 $(0.409,1.354$)

(D) $(-1.5,-1$ 和 $(0,1$)

(E) $(-1.5,-1.354),(-0.409,0)$，和 $(1.354,1.5$)

AP 微積分 AB 考試自由回應問題範例 A 部分:

一個沿著 $x y$ 平面曲線移動的粒子在時間 $t$ 秒時的位置為 $(x(t), y(t)$)，其中 $x(t)$ 和 $y(t)$ 以公分為單位。已知 $x^{\prime}(t)=8 t-t^2$ 和 $y^{\prime}(t)=-t+\sqrt{t^{1.2}+20}$。在時間 $t=$ 2 秒時，粒子位於點 $(3,6)$。

(a) 找出粒子在時間 $t$ = 2 秒時的速度。顯示計算的設置。

(b) 找出粒子在時間區間 $0 \leq t \leq 2$ 內的總行駛距離。顯示計算的設置。

(c) 找出粒子在時間 $t=0$ 時的位置的 $y$ 坐標。顯示計算的設置。

(d) 對於 $2 \leq t \leq 8$，粒子保持在第一象限。找出在區間 $2 \leq t \leq 8$ 中粒子朝向 $x$ 軸移動的所有時間 $t$。給出你的答案的理由。

AP 微積分 BC 考試自由回應問題範例 B：

函數 $f$ 在所有 $x$ 上是二次可微的，且 $f(0)=0$。$f^{\prime}$ 的值，即 $f$ 的導數，在表中給出了選定的 $x$ 值。

(a) 對於 $x \geq 0$，函數 $h$ 定義為 $h(x)=\int_0^x \sqrt{1+\left(f^{\prime}(t)\right)^2} d t$。找出 $h^{\prime}(\pi)$ 的值。顯示導致您答案的工作。

(b) $\int_0^\pi \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^2} d$ 提供了有關 $f$ 的圖形的什麼信息？

(c) 使用歐拉方法，從 $x=$ 開始，進行兩步相等大小的步驟，來近似 $f(2 \pi)$。顯示導致您答案的計算。

(d) 找出 $\int(t+5) \cos \left(\frac{t}{4}\right) d t$。顯示導致您答案的工作。

您應該選擇哪一門 AP 課程？

那麼您應該選擇 AP 微積分 AB 還是 BC？首先，在您可以選擇 AP 微積分之前，有一些先決條件。您必須完成代數 2 和預備微積分。如果您已經完成了這兩門課程，請在決定選擇哪一門 AP 課程之前考慮以下三個因素。

1. 您目前的數學水平

如果你在三角學和代數方面有堅實的基礎，你可能已經為快速進行的微積分 BC 課程做好了準備，這需要分析性思維並涵蓋更高級的數學主題，如參數方程、極坐標和級數。

然而，如果你在極限、導數、積分及其基本應用方面沒有堅實的基礎，微積分 AB 或預備微積分可能是更好的起點。

1. 你的大學計劃

如果你打算進入與 STEM 相關的領域，如工程、物理、計算機科學，甚至經濟學，選修 AP 微積分 BC 可以是一個很大的優勢。例如，在工程學中，你需要理解電路分析中的冪級數，而在物理學中，參數方程對於建模運動至關重要。此外，它比微積分 AB 獲得更多的大學學分。

AP 微積分 AB 適用於 STEM 和非 STEM 專業。例如，商業專業可能只需要微積分來理解優化問題或計算增長率，這些內容在微積分 AB 中都有涵蓋。

還不能決定專業嗎？如果你的目標是獲得大學學分並節省學費，請查看你申請的大學的 AP 學分政策。

1. 工作量和時間承諾

如果你已經在忙碌的日程中平衡其他具有挑戰性的課程，微積分 AB 可能是更好的選擇，以保持事情的可管理性。微積分 BC 被認為是最難的 AP 課程之一，這不一定是因為課程內容，而是因為它的工作量很大。這門課程進度快，涵蓋更深入的主題，需要額外的時間來學習。

有效的 AP 微積分考試學習方法

• 掌握核心概念和公式

專注於理解核心概念，如極限、導數和積分（如果你正在學習微積分 BC，你還應該掌握級數和參數方程）。記住微分、積分和幾何的基本公式。理解和記憶公式的最佳方法是將它們應用於實踐中。

例如，練習應用導數的乘積法則： f(x) = x²sin(x)，使用公式 f′(x) = u′v + uv′ 來找到 f'(x) = 2xsin(x) + x²cos(x)。

• 利用高質量的學習資源

除了課程材料外，你還可以找到許多有用的在線資源，如 College Board 的 AP Classroom、可汗學院、YouTube 頻道 等，以尋找練習題和解釋解決方案。

如果在做作業時遇到任何問題，請立即尋求幫助，不要積累問題。擁有輔導課程來解決特定問題會很好。如果找不到輔導老師，可以嘗試使用 AI 數學輔導 或 作業幫手 以獲得即時幫助。

https://youtu.be/4twGM1J0Slw?si=15Lm6yqs9TaMj5mm

• 從模擬考中學習

理解概念和公式很重要，但知道如何在實踐中應用它們更為重要。隨著你做更多的模擬考試或考試，你會發現自己的弱點，這有助於你針對這些弱點，因為你可以專注於錯誤的答案並分析為什麼會錯。

強烈建議你持續進行模擬考試，因為長時間的一致練習比前一晚的突擊更有效。 在限時條件下進行模擬考試也是一個好主意，以便讓自己熟悉實際考試。

另一個建議是練習如何有效使用圖形計算器，特別是在考試中允許使用計算器的部分。

結論

AP 微積分 AB 和 BC 是大學級的微積分課程。微積分 AB 涵蓋了基本概念，如極限、導數和積分，為微積分打下堅實的基礎。微積分 BC 更深入探討微積分 AB 中教授的概念，並引入額外的主題，如參數方程、極坐標以及數列和級數。

在 AP 微積分 AB 和 BC 之間的選擇取決於你的學術目標和對挑戰性課程的舒適程度。如果你對微積分的嚴謹性不確定或計劃從事非 STEM 領域，微積分 AB 可能更適合你。然而，如果你在數學方面表現優異，對 STEM 領域感興趣，並且準備好接受快速且要求高的課程，微積分 BC 可以通過潛在地為你贏得更多的學分和在學習上的先機，提供顯著的優勢。

常見問題

如果在 AP 微積分 AB 考試中獲得 4 分，可以獲得多少大學學分？

"在 AP 微積分 AB 考試中獲得 4 分通常可以獲得 4 到 8 學期的學分。然而，具體的學分數量因學校而異，因此請務必 查詢您感興趣的特定學校 的政策。例如，如果您在 AP 微積分 AB 考試中獲得 4 分，您可以在 UCLA 獲得 4 學分。

AP 微積分比預備微積分難嗎？

是的，AP 微積分通常被認為比預備微積分難，因為 AP 預備微積分專注於基礎概念，而 AP 微積分則引入新的、更複雜的數學思想。

AP 微積分 AB 值得學習嗎？

是的，AP 微積分 AB 絕對值得考慮。這是一門艱難的課程，但您會學到很多，特別是如何進行批判性思考。此外，您可能會獲得大學學分，並節省學費，這總是一個好處。

為什麼 AP 微積分 BC 這麼難？

AP 微積分 BC 被認為是最難的 AP 課程之一，因為它以快速的節奏涵蓋大量的材料。這就像將兩個學期的大学水平微積分壓縮到一門高中課程中，如果您對自己的數學技能或時間管理不自信，這可能會感到壓力很大。