常態分配 flashcards：z 分數與 CLT

Question 1

什麼是常態分配？

Accepted Answer

一種連續分配，其密度為 $$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\ \sigma>0,$$ 其中 $\mu$ 為平均數，$\sigma$ 為標準差。

Question 2

寫出將 $N(\mu,\sigma)$ 中的 $x$ 轉換為標準常態變數的 z 分數公式

Accepted Answer

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$ 其中 $x$ 為原始值，$\mu$ 為平均數，$\sigma$ 為標準差。

Question 3

敘述樣本平均數的中心極限定理（CLT）

Accepted Answer

對於具有平均數 $\mu$ 且變異數有限為 $\sigma^2$ 的 i.i.d. 觀測值，當 $n$ 很大時，樣本平均數 $\bar X$ 近似為常態：$$\bar X\approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),$$ 不論母體分配為何。

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