積分應用 flashcards

Question 1

寫出兩條曲線 $y=f(x)$ 與 $y=g(x)$ 在 $[a,b]$ 上（且 $f\ge g$）的曲線間面積公式。

Accepted Answer

$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
$f$ 為上方的函數，$g$ 為下方的函數，且 $A\ge0$ 為幾何面積。

Question 2

寫出繞 $x$ 軸的環形法（washer method）體積公式。

Accepted Answer

$$V=\pi\int_a^b \Big((R(x))^2-(r(x))^2\Big)\,dx$$
$R(x)$ 為外半徑，$r(x)$ 為內半徑（到「孔洞」的距離）。

Question 3

寫出 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的弧長公式。

Accepted Answer

$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
要求 $f'$ 在 $[a,b]$ 上存在（且可積分）。

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