旋转体体积测验（圆盘法、垫片法、圆柱壳法）

Question 1

求将 $x=0$ 到 $x=2$ 上曲线 $y=x^2$ 下方区域绕 $x$ 轴旋转所得立体的体积。

Accepted Answer

$\dfrac{32\pi}{5}$

Answer

$\dfrac{8\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{16\pi}{5}$

Answer

$\dfrac{64\pi}{5}$

Question 2

使用垫片法（圆环法），求由 $x=y^2$ 与 $x=4$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转（$-2\le y\le 2$）所得体积。

Accepted Answer

$\dfrac{128\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{64\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{384\pi}{5}$

Answer

$32\pi$

Question 3

区域由 $y=x$ 与 $y=\dfrac{1}{x}$ 在 $1\le x\le 2$ 上围成，并绕 $y$ 轴旋转。哪个表达式能以最少的变量替换给出体积？正确的设定是什么？

Accepted Answer

圆柱壳法：$V=2\pi\int_{1}^{2} x\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,dx$

Answer

圆柱壳法：$V=\pi\int_{1}^{2} x\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,dx$

Answer

圆盘法：$V=\pi\int_{1}^{2} (x-\dfrac{1}{x})^2\,dx$

Answer

垫片法：$V=\pi\int_{1}^{2} \left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)\,dx$

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