泰勒与麦克劳林级数 flashcards

Question 1

什么是以 $a$ 为中心的幂级数？

Accepted Answer

形如 $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ 的无穷级数，其中 $c_n$ 为常数，$a$ 为中心。

Question 2

写出 $\cos x$ 的麦克劳林级数。

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$（对所有 $x$ 都收敛）。

Question 3

用比值判别法求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ 的收敛半径。

Accepted Answer

令 $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$。则 $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ 当 $|x-2|<1$ 时收敛，所以 $R=1$。

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