积分法则闪卡：核心积分方法

Question 1

不定积分 $\int f(x)\,dx$ 表示什么？

Accepted Answer

$f$ 的一族原函数：$$\int f(x)\,dx = F(x)+C,$$ 其中 $F'(x)=f(x)$，$C$ 为任意常数。

Question 2

什么时候使用 u-代换？

Accepted Answer

当被积函数包含复合函数，并且（相差一个常数因子）含有内部函数的导数时，例如 $f(g(x))g'(x)$。

Question 3

陈述微积分基本定理（第一部分和第二部分）。

Accepted Answer

基本定理 1：若 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 且 $f$ 连续，则 $F'(x)=f(x)$。 基本定理 2：若在 $[a,b]$ 上 $F'(x)=f(x)$，则 $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

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