Флешкартки з рядів Тейлора та Маклорена

Question 1

Що таке степеневий ряд із центром у $a$?

Accepted Answer

Нескінченний ряд вигляду $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ де $c_n$ — сталі, а $a$ — центр.

Question 2

Запишіть ряд Маклорена для $\cos x$.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ (збігається для всіх $x$).

Question 3

Застосуйте ознаку відношення, щоб знайти радіус збіжності ряду $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.

Accepted Answer

Нехай $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. Тоді $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ Ряд збігається, якщо $|x-2|<1$, отже $R=1$.

Флешкартки з рядів Тейлора та Маклорена

Опануйте Математику з ШІ

Навчальні Ресурси

Довіра та Визнання