Розуміння того, що таке прості числа: визначення та методи їх ідентифікації

"Коли-небудь ви замислювалися над простими числами? Ви не самотні! Багато людей мають труднощі з розумінням того, що робить число простим, і як відрізнити прості числа від складних. Якщо ви коли-небудь запитували себе, чому деякі числа, наприклад, $7$ або $29$ є особливими, а деякі, як $6$ або $12$, ні, ви на правильному шляху.

У цьому посібнику я проведу вас через світ простих чисел крок за кроком, пояснюючи це в зрозумілій формі. Наприкінці ви не тільки зрозумієте прості числа, але й будете впевнені у їх ідентифікації самостійно. Давайте почнемо зараз!

Що таке прості числа

Прості числа - це особлива група чисел, які мають точно два дільники: число $1$ і саме число. Іншими словами, просте число можна поділити лише на $1$ і на саме себе без залишку. Це просте визначення відрізняє прості числа від складних чисел, які можна поділити більш ніж на два дільники. Наприклад, візьмемо число $7$. Воно є єдиним простим, оскільки ділиться лише на $1$ і $7$. Складне число, з іншого боку, має число $6$, яке можна поділити на $1$, $2$, $3$ і $6$. Я розгляну число, яке має один дільник (як $1$ або $4$), і це не просте число, оскільки не відповідає вимозі двох дільників. Прості числа займають важливе місце в теорії чисел і слугують "будівельними блоками" всіх інших чисел. Будь-яке число більше $1$ є або простим числом, або складним числом, яке можна розкласти на менші прості числа.

Що таке прості числа від $1$ до $100$

Якщо вам цікаві прості числа, перші 100 чисел пропонують відмінний майданчик для дослідження. Від $1$ до $100$ є точно 25 простих чисел. Ці числа включають деякі класичні, такі як $2$, $3$, $5$ і $7$, але також багато інших, про які ви, можливо, не подумаєте одразу, як $47$ і $97$.

Ось список простих чисел між $1$ і $100$:

$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$.

Зверніть увагу, що $2$ є єдиним парним числом у цьому списку — це робить його особливим у світі простих чисел. Усі інші прості числа непарні.

Як визначити, чи є число простим

Не здається, що є щось складне в тому, щоб визначити, чи є число простим – поки ви не побачите, як це зробити. Число, більше ніж $1$, може ділитися лише на $1$ і саме на себе, є простим числом. Найпростіше, звичайно, перевірити, чи можете ви поділити його на інші числа. Вітаємо! Якщо жодне з менших чисел не ділить його націло, то число є простим.

Наприклад, візьмемо $29$.

Або ви можете спробувати поділити його на $2$, $3$, $4$, $5$ і так далі. Оскільки жодне з цих чисел не ділить $29$ без залишку, $29$ є простим числом.

& інші більш складні методи тестування простоти також. Існує один метод, відомий як пробне ділення, який полягає в діленні числа на всі прості числа, менші або рівні його квадратному кореню. У цьому випадку, якщо жодне з цих простих чисел не ділить число, то воно є простим.

Прості числа проти складних чисел

Важливо знати різницю між простими числами та складними числами. Прості числа, як ми вже згадували раніше, мають точно два дільники: $1$ та саме число. Однак це єдині числа, які можуть мати більше ніж два дільники. Ви можете поділити його на менші числа і отримати добуток. Тож давайте порівняємо числа $5$ та $4$. Кількість простих чисел у числі $5$ складає $1$ і $5$ ділить його. Однак $4$ є складним числом, оскільки його також можна поділити на $2$ та $4$. Саме це розрізнення допомагає визначити теорію чисел. Прості числа є унікальними тим, що їх не можна розкласти далі. Складні числа, однак, можуть бути розкладені на менші прості числа. Наприклад, число $12$ є складним числом, яке можна розкласти як $2 × 2 × 3$, які всі є простими.

Розв'язані приклади простих чисел

Щоб зрозуміти концепцію простих чисел, корисно пройти через кілька прикладів. Давайте розглянемо кілька різних типів задач, які перевіряють ваше розуміння простих чисел різними способами.

Основна ідентифікація простих чисел

Запитання: Чи є число $37$ простим числом?

Рішення: Щоб визначити, чи є $37$ простим числом, потрібно перевірити, чи має воно лише два дільники: $1$ та $37$ само по собі. Спробуйте поділити $37$ на менші числа, такі як $2$, $3$, $5$ і так далі. Жодне з них не ділиться на $37$ без залишку, що означає, що його не можна розкласти на інші числа, окрім $1$ та $37$. Отже, $37$ є простим числом.

Відповідь Mathos AI:

Знаходження простих чисел у діапазоні

Запитання: Скільки простих чисел є між $50$ та $70$?

Рішення: Щоб вирішити це, давайте перевіримо кожне число між $50$ та $70$:

• $51$ ділиться на $3$ (складне)
• $53$ ділиться лише на $1$ та $53$ (просте)
• $55$ ділиться на $5$ (складне)
• $57$ ділиться на $3$ (складне)
• $59$ ділиться лише на $1$ та $59$ (просте)
• $61$ ділиться лише на $1$ та $61$ (просте)
• $63$ ділиться на $3$ (складне)
• $65$ ділиться на $5$ (складне)
• $67$ ділиться лише на $1$ та $67$ (просте)
• $69$ ділиться на $3$ (складне)

Отже, простими числами між $50$ та $70$ є $53$, $59$, $61$ та $67$. Це дає нам загалом 4 простих числа.

Відповідь Mathos AI:

Порівняння складних і простих чисел

Питання: Чи є $45$ простим числом чи складним числом?

Рішення: Щоб число було простим, воно повинно мати лише два дільники: $1$ і саме себе. Давайте перевіримо $45$. Його можна поділити на $1$, $3$, $5$, $9$, $15$ та $45$, що означає, що воно має більше ніж два дільники. Оскільки $45$ має кілька дільників, це складне число.

Відповідь Mathos AI:

Практикуючи ці приклади, ви побачите, що визначення простих чисел полягає в перевірці, скільки дільників має число, і в забезпеченні того, що воно ділиться лише на $1$ і саме на себе.

Готові опанувати прості числа?

На даний момент ви повинні мати набагато чіткіше уявлення про прості числа — що це таке, як їх визначити і чому вони такі важливі в математиці. Це нормально, якщо ви все ще відчуваєте певну невпевненість, особливо коли справа доходить до розрізнення простих чисел і складних чисел. Я також це переживав! Але повірте, з невеликою практикою прості числа незабаром стануть вам зрозумілими, і ви зможете легко їх помічати.

Mathos AI — це чудовий спосіб допомогти вам на цьому шляху, якщо ви шукаєте ще більше! Це фантастично спроектований інструмент з багатими безкоштовними онлайн-калькуляторами для швидкого та всебічного вирішення математичних задач прямо в браузері. За допомогою калькуляторів Mathos AI ви отримуєте допомогу з основної математики, алгебри або більш складних функцій, таких як інтеграли або множення матриць. Ідеально підходить для студентів, професіоналів або звичайних любителів математики, як ми. Я використовую його як свій основний ресурс для запитання математичних питань і знаходження рішень. PDF Homework Helper від Mathos AI може стати вашим трюком для навчання розумніше та ефективніше!

Чому зупинятися на простих числах? Mathos AI допомагає вам впевнено заглиблюватися в математику, світ чисел!