Flashcards om Taylor- och Maclaurinserier

Question 1

Vad är en potensserie centrerad vid $a$?

Accepted Answer

En oändlig serie av formen $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ där $c_n$ är konstanter och $a$ är centrum.

Question 2

Ange Maclaurinserien för $\cos x$.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ (konvergerar för alla $x$).

Question 3

Använd kvottestet för att hitta konvergensradien för $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.

Accepted Answer

Låt $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. Då är $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ Konvergerar om $|x-2|<1$, alltså är $R=1$.

Flashcards om Taylor- och Maclaurinserier

Bemästra Matematik med AI

Inlärningsresurser

Betrodd & Erkänd