Флеш-карточки по рядам Тейлора и Маклорена

Question 1

Что такое степенной ряд с центром в точке $a$?

Accepted Answer

Бесконечный ряд вида $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ где $c_n$ — константы, а $a$ — центр.

Question 2

Запишите ряд Маклорена для $\cos x$.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ (сходится при всех $x$).

Question 3

С помощью признака Даламбера найдите радиус сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.

Accepted Answer

Пусть $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. Тогда $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ Ряд сходится при $|x-2|<1$, значит $R=1$.

Флеш-карточки по рядам Тейлора и Маклорена

Освойте Математику с ИИ

Учебные Ресурсы

Нам доверяют