Понимание того, что такое простые числа: определение и методы их определения

Вы когда-нибудь задумывались о простых числах? Вы не одиноки! Многие люди испытывают трудности с пониманием того, что делает число простым, и как отличить простые числа от составных. Если вы когда-либо задавались вопросом, почему некоторые числа, например, $7$ или $29$, особенные, а такие, как $6$ или $12$, нет, вы на правильной странице.

В этом руководстве я проведу вас по миру простых чисел шаг за шагом, разбивая материал на части, которые легко усвоить. К концу вы не только поймете простые числа, но и будете уверенно их определять самостоятельно. Давайте начнем сейчас!

Что такое простые числа

Простые числа — это особая группа чисел, которые имеют ровно два делителя: число $1$ и само число. Другими словами, простое число можно разделить только на $1$ и на само себя без остатка. Это простое определение отличает простые числа от составных, которые можно разделить более чем на два делителя. Например, возьмем число $7$. Оно является простым, так как делится только на $1$ и $7$. Составное число, с другой стороны, это число $6$, которое можно разделить на $1$, $2$, $3$ и $6$. Я рассмотрю число, которое имеет один делитель (например, $1$ или $4$), и оно не является простым числом, так как не удовлетворяет требованию о двух делителях. Простые числа занимают важное место в теории чисел и служат "строительными блоками" всех других чисел. Любое число больше $1$ является либо простым числом, либо составным числом, которое можно разложить на более мелкие простые числа.

Что такое простые числа от $1$ до $100$

Если вам любопытно узнать о простых числах, первые 100 чисел предлагают отличную площадку для исследования. С $1$ до $100$ есть ровно 25 простых чисел. Эти числа включают в себя некоторые классические, такие как $2$, $3$, $5$ и $7$, но также и многие другие, о которых вы, возможно, не подумаете сразу, такие как $47$ и $97$.

Вот список простых чисел между $1$ и $100$:

$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$.

Обратите внимание, что $2$ — единственное четное число в этом списке, что делает его выдающимся в мире простых чисел. Все остальные простые числа нечетные.

Как определить, является ли число простым

Не кажется, что есть что-то сложное в определении, является ли число простым, пока вы не увидите, как это сделать. Число большее чем $1$, которое может делиться только на $1$ и само на себя, является простым числом. Самое простое, что можно сделать, это проверить, можете ли вы разделить его на другие числа. Поздравляю! Если ни одно из меньших чисел не делит его нацело, то число простое.

Например, возьмем $29$.

Или вы можете попробовать разделить его на $2$, $3$, $4$, $5$ и так далее. Поскольку ни одно из этих чисел не делит $29$ без остатка, $29$ является простым числом.

«И другие более сложные методы тестирования на простоту тоже. Существует один метод, известный как пробное деление, который делит число на все простые числа, меньшие или равные его квадратному корню. В этом случае, если ни одно из этих простых чисел не делит число, оно является простым.

Простые числа против составных чисел

Важно знать разницу между простыми числами и составными числами. Простые числа, как мы упоминали ранее, имеют ровно два делителя: $1$ и само число. Однако это единственные числа, которые могут иметь более двух делителей. Вы можете делить его на меньшие числа и получать произведение. Давайте сравним числа $5$ и $4$. Количество простых чисел в числе $5$ — это $1$ и $5$, которые его делят. Однако $4$ является составным числом, потому что его также можно разделить на $2$ и $4$. Именно это различие помогает определить теорию чисел. Простые числа уникальны тем, что их нельзя разложить дальше. Составные числа, однако, могут быть разложены на более мелкие простые числа. Например, число $12$ является составным числом, которое можно разложить как $2 × 2 × 3$, которые все являются простыми.

Решенные примеры простых чисел

Чтобы понять концепцию простых чисел, полезно рассмотреть несколько примеров. Давайте решим несколько различных типов задач, которые проверяют ваше понимание простых чисел различными способами.

Основная идентификация простых чисел

Вопрос: Является ли число $37$ простым числом?

Решение: Чтобы определить, является ли $37$ простым числом, нам нужно проверить, есть ли у него только два делителя: $1$ и само $37$. Попробуйте разделить $37$ на более мелкие числа, такие как $2$, $3$, $5$ и так далее. Ни одно из них не делит $37$ нацело, что означает, что его нельзя разложить на множители, кроме $1$ и $37$. Следовательно, $37$ является простым числом.

Ответ Mathos AI:

Поиск простых чисел в диапазоне

Вопрос: Сколько простых чисел находится между $50$ и $70$?

Решение: Чтобы решить эту задачу, давайте проверим каждое число между $50$ и $70$:

• $51$ делится на $3$ (составное)
• $53$ делится только на $1$ и $53$ (простое)
• $55$ делится на $5$ (составное)
• $57$ делится на $3$ (составное)
• $59$ делится только на $1$ и $59$ (простое)
• $61$ делится только на $1$ и $61$ (простое)
• $63$ делится на $3$ (составное)
• $65$ делится на $5$ (составное)
• $67$ делится только на $1$ и $67$ (простое)
• $69$ делится на $3$ (составное)

Таким образом, простые числа между $50$ и $70$ это $53$, $59$, $61$ и $67$. Это дает нам в общей сложности 4 простых числа.

Ответ Mathos AI:

Сравнение составных и простых чисел

Вопрос: Является ли $45$ простым числом или составным числом?

Решение: Чтобы число было простым, у него должно быть только два делителя: $1$ и само число. Проверим $45$. Его можно разделить на $1$, $3$, $5$, $9$, $15$ и $45$, что означает, что у него больше двух делителей. Поскольку у $45$ несколько делителей, это составное число.

Ответ Mathos AI:

Практикуясь с этими примерами, вы увидите, что определение простых чисел сводится к проверке, сколько делителей имеет число, и обеспечению того, что оно делится только на $1$ и само на себя.

Готовы овладеть простыми числами?

К этому моменту у вас должно быть гораздо более четкое понимание простых чисел — что это такое, как их определить и почему они так важны в математике. Это нормально, если вы все еще чувствуете себя немного неуверенно, особенно когда дело касается различия между простыми и составными числами. Я тоже это переживал! Но поверьте мне, с небольшим количеством практики простые числа вскоре станут вам совершенно понятны, и вы будете легко их находить.

Mathos AI — отличный способ помочь вам на этом пути, если вы ищете еще больше! Это фантастически разработанный инструмент с богатыми бесплатными онлайн-калькуляторами для быстрого и всестороннего решения математических задач прямо в браузере. С помощью калькуляторов Mathos AI вы получаете помощь с базовой математикой, алгеброй или более сложными функциями, такими как интегралы или умножение матриц. Идеально подходит для студентов, профессионалов или обычных любителей математики, таких как мы. Я использую его как свой основной ресурс для задачи математических вопросов и поиска решений. PDF помощник по домашним заданиям от Mathos AI может стать вашим секретом для более умного и эффективного обучения!

Почему останавливаться на простых числах? Mathos AI помогает вам уверенно углубляться в математику, мир чисел!