Флеш-карточки по приложениям интегрирования

Question 1

Запишите формулу площади между двумя кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на $[a,b]$ (при $f\ge g$).

Accepted Answer

$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
$f$ — верхняя функция, $g$ — нижняя функция, а $A\ge0$ — геометрическая площадь.

Question 2

Запишите формулу метода колец (шайб) для объёма при вращении вокруг оси $x$.

Accepted Answer

$$V=\pi\int_a^b \Big((R(x))^2-(r(x))^2\Big)\,dx$$
$R(x)$ — внешний радиус, а $r(x)$ — внутренний радиус (расстояние до «отверстия»).

Question 3

Запишите формулу длины дуги для $y=f(x)$ на $[a,b]$.

Accepted Answer

$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
Требуется, чтобы $f'$ существовала (и была интегрируема) на $[a,b]$.

Освойте Математику с ИИ