Flashcards de séries de Taylor e Maclaurin

Question 1

O que é uma série de potências centrada em $a$?

Accepted Answer

Uma série infinita da forma $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ em que $c_n$ são constantes e $a$ é o centro.

Question 2

Indique a série de Maclaurin de $\cos x$.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ (converge para todo $x$).

Question 3

Use o teste da razão para encontrar o raio de convergência de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.

Accepted Answer

Seja $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. Então $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ Converge se $|x-2|<1$, logo $R=1$.

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