테일러와 매클로린 급수 플래시카드

Question 1

$a$를 중심으로 하는 멱급수(power series)란 무엇인가?

Accepted Answer

$c_n$이 상수이고 $a$가 중심일 때, $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ 꼴의 무한급수이다.

Question 2

$\cos x$의 매클로린 급수를 쓰시오.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ ($x$의 모든 값에 대해 수렴).

Question 3

비율판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$의 수렴반경을 구하시오.

Accepted Answer

$a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$라 두면, $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ $|x-2|<1$이면 수렴하므로 $R=1$.

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