テイラー級数とマクローリン級数のフラッシュカード

Question 1

中心が $a$ のべき級数とは何ですか？

Accepted Answer

$c_n$ を定数、$a$ を中心として、$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$$ の形をした無限級数。

Question 2

$\cos x$ のマクローリン級数を述べなさい。

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$（すべての $x$ で収束）。

Question 3

比の判定法を用いて $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ の収束半径を求めなさい。

Accepted Answer

$a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$ とおく。すると $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ $|x-2|<1$ のとき収束するので、$R=1$。

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