多項式関数のフラッシュカード：零点からグラフまで

Question 1

多項式関数 $f(x)$ とは何ですか？

Accepted Answer

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$ の形の関数。ここで $n$ は非負整数、$a_n
eq 0$、係数 $a_i$ は実数である。

Question 2

零点の重複度とは何ですか？また、その切片でグラフにどのような影響がありますか？

Accepted Answer

$(x-c)^m$ が因数で、$m\ge 1$ が最大のとき、$c$ の重複度は $m$。$m$ が奇数：グラフは $x$ 軸を横切る。$m$ が偶数：グラフは $x$ 軸に接して跳ね返る（$m$ が大きいほど平らに見えやすい）。

Question 3

因数定理を述べ、それが多項式のグラフ化にどう役立つか説明してください。

Accepted Answer

因数定理：$(x-c)$ が $f(x)$ の因数であることと $f(c)=0$ は同値。グラフ化では、実数の零点（と重複度）から $x$ 切片の位置とふるまいを決め、$f(0)$ から $y$ 切片を求め、最高次の項から端の挙動を読み取って全体の形を概形する。

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