円すい曲線のフラッシュカード：放物線から双曲線まで

Question 1

円の標準形の方程式を述べよ。

Accepted Answer

$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$ 中心は$(h,k)$、半径は$r>0$。

Question 2

$\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y+1)^2}{9}=1$について、焦点を求めよ。

Accepted Answer

$c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. 中心$(2,-1)$. 焦点は$(2\pm4,-1)$、すなわち$(-2,-1)$と$(6,-1)$。

Question 3

円すい曲線における標準形と一般形の違いは何か？

Accepted Answer

標準形は平方完成されており、グラフの特徴（中心/頂点、$a,b,r$、焦点、漸近線）を直接読み取れる。一般形は$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$で（円すい曲線を特定するには）平方完成や回転が必要になることが多い。

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