回転体の体積クイズ（円板・ワッシャー・殻法）

Question 1

$x=0$ から $x=2$ の範囲で、$y=x^2$ の下の領域を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

Accepted Answer

$\dfrac{32\pi}{5}$

Answer

$\dfrac{8\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{16\pi}{5}$

Answer

$\dfrac{64\pi}{5}$

Question 2

ワッシャー法を用いて、$x=y^2$ と $x=4$ に挟まれた領域を $y$ 軸のまわりに回転したとき（$-2\le y\le 2$）の体積を求めよ。

Accepted Answer

$\dfrac{128\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{64\pi}{3}$

Answer

$\dfrac{384\pi}{5}$

Answer

$32\pi$

Question 3

$1\le x\le 2$ において、領域は $y=x$ と $y=\dfrac{1}{x}$ によって囲まれている。これを $y$ 軸のまわりに回転する。変数変換が最小で済む体積の式はどれか。また、正しい設定はどれか。

Accepted Answer

殻法：$V=2\pi\int_{1}^{2} x\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,dx$

Answer

殻法：$V=\pi\int_{1}^{2} x\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,dx$

Answer

円板法：$V=\pi\int_{1}^{2} (x-\dfrac{1}{x})^2\,dx$

Answer

ワッシャー法：$V=\pi\int_{1}^{2} \left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)\,dx$

信頼と実績