積分の応用 flashcards

Question 1

区間 $[a,b]$ における2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の間の面積の公式を述べよ（$f\ge g$ とする）。

Accepted Answer

$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
$f$ は上側の関数、$g$ は下側の関数で、$A\ge0$ は幾何学的な面積である。

Question 2

$x$ 軸まわりの回転体の体積について、ワッシャー法の公式を述べよ。

Accepted Answer

$$V=\pi\int_a^b \Big((R(x))^2-(r(x))^2\Big)\,dx$$
$R(x)$ は外半径、$r(x)$ は内半径（「穴」までの距離）である。

Question 3

$[a,b]$ 上の $y=f(x)$ の弧長の公式を述べよ。

Accepted Answer

$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
$[a,b]$ 上で $f'$ が存在し（かつ積分可能である）ことが必要。

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