1階微分方程式のフラッシュカード

Question 1

1階常微分方程式（ODE）とは何ですか？

Accepted Answer

未知関数 $y(x)$ とその1階導関数 $y'$ の関係を表す方程式で、$F(x,y,y')=0$（または $y'=f(x,y)$ の形に解いたもの）。

Question 2

$y' + P(x)y = Q(x)$ に対する積分因子の公式を述べてください。

Accepted Answer

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$ ODE の両辺に $\mu$ を掛けると、左辺は $(\mu y)'$ になる。

Question 3

$M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0$ が完全微分方程式であるかの判定と、完全なときの解き方は？

Accepted Answer

判定：$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$$ 完全なら、$\psi_x=M$ を満たす $\psi$ を $x$ で積分して $\psi=\int M\,dx + g(y)$ とおき、次に $\psi_y=N$ を用いて $g(y)$ を決める。解は $\psi(x,y)=C$。

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