Flashcards sulle serie di Taylor e Maclaurin

Question 1

Che cos'è una serie di potenze centrata in $a$?

Accepted Answer

Una serie infinita della forma $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ dove $c_n$ sono costanti e $a$ è il centro.

Question 2

Scrivi la serie di Maclaurin per $\cos x$.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ (converge per ogni $x$).

Question 3

Usa il criterio del rapporto per trovare il raggio di convergenza di $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.

Accepted Answer

Sia $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. Allora $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ Converge se $|x-2|<1$, quindi $R=1$.

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