Equazioni differenziali del secondo ordine: flashcards

Question 1

Che cos'è un'ODE lineare del secondo ordine in forma standard?

Accepted Answer

Un'equazione della forma $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$, dove $p,q,g$ sono funzioni assegnate di $x$ e $y$ è la funzione incognita.

Question 2

Qual è l'equazione caratteristica per $ay''+by'+cy=0$ con coefficienti costanti?

Accepted Answer

Supponendo $y=e^{rx}$ si ottiene l'equazione caratteristica $$ar^2+br+c=0,$$ dove $r$ è il tasso di crescita/decadimento esponenziale.

Question 3

Scrivi le formule della variazione delle costanti per una soluzione particolare di $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ dati $y_1,y_2$.

Accepted Answer

Con soluzioni fondamentali $y_1,y_2$ e Wronskiano $W=y_1y_2'-y_2y_1'$, poni $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ dove
$$u_1'=-\frac{y_2\,g(x)}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1\,g(x)}{W}.$$

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