Flashcard sulle equazioni differenziali del primo ordine

Question 1

Che cos’è un’equazione differenziale ordinaria (ODE) del primo ordine?

Accepted Answer

Un’equazione che mette in relazione una funzione incognita $y(x)$ e la sua derivata prima $y'$, della forma $F(x,y,y')=0$ (oppure risolta come $y'=f(x,y)$).

Question 2

Enuncia la formula del fattore integrante per $y' + P(x)y = Q(x)$.

Accepted Answer

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$ Moltiplicare l’ODE per $\mu$ rende il lato sinistro $(\mu y)'.$

Question 3

Come si verifica l’esattezza e si risolve $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0$ quando è esatta?

Accepted Answer

Verifica: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$$ Se è esatta, trova $\psi$ con $\psi_x=M$ integrando rispetto a $x$: $\psi=\int M\,dx + g(y)$, poi usa $\psi_y=N$ per determinare $g(y)$. La soluzione è $\psi(x,y)=C$.

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