Flashcards sur les séries de Taylor et de Maclaurin

Question 1

Qu’est-ce qu’une série entière centrée en $a$ ?

Accepted Answer

Une série infinie de la forme $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ où $c_n$ sont des constantes et $a$ est le centre.

Question 2

Donner le développement de Maclaurin de $\cos x$.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ (converge pour tout $x$).

Question 3

Utiliser le critère du rapport pour trouver le rayon de convergence de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.

Accepted Answer

Posons $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. Alors $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ La série converge si $|x-2|<1$, donc $R=1$.

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