Comprendre ce que sont les nombres premiers : définition et méthodes d'identification

"Vous vous êtes déjà gratté la tête en vous demandant ce que sont les nombres premiers ? Vous n'êtes pas seul ! Beaucoup de gens ont du mal à comprendre ce qui rend un nombre premier et comment faire la différence entre les nombres premiers et les nombres composés. Si vous vous êtes déjà demandé pourquoi certains nombres, par exemple $7$ ou $29$, sont spéciaux et d'autres comme $6$ ou $12$ ne le sont pas, vous êtes au bon endroit.

Dans ce guide, je vais vous faire découvrir le monde des nombres premiers étape par étape, en le décomposant d'une manière facile à comprendre. À la fin, vous ne comprendrez pas seulement les nombres premiers, mais vous vous sentirez également en confiance pour les identifier par vous-même. Commençons maintenant !

Qu'est-ce que les Nombres Premiers

Les nombres premiers sont un groupe spécial de nombres qui ont exactement deux facteurs : il y a le nombre $1$ et le nombre lui-même. En d'autres termes, un nombre premier ne peut être divisé que par $1$ et lui-même sans reste. Cette définition simple distingue les nombres premiers des nombres composés, qui peuvent être divisés par plus de deux facteurs. Par exemple, prenons le nombre $7$. Il est seulement premier, car il n'est divisible que par $1$ et $7$. Le nombre composé, en revanche, a le nombre $6$ qui peut être divisé par $1$, $2$, $3$ et $6$. Je vais examiner un nombre qui a un facteur (comme $1$ ou $4$) et ce n'est pas un nombre premier car il ne satisfait pas l'exigence des deux facteurs. Les nombres premiers occupent une place importante dans la théorie des nombres et servent de "briques" pour tous les autres nombres. Tout nombre supérieur à $1$ est soit un nombre premier, soit un nombre composé, qui peut être décomposé en nombres premiers plus petits.

Quels sont les Nombres Premiers de $1$ à $100$

Si vous êtes curieux au sujet des nombres premiers, les 100 premiers nombres offrent un excellent terrain de jeu à explorer. De $1$ à $100$, il y a exactement 25 nombres premiers. Ces nombres incluent quelques classiques comme $2$, $3$, $5$ et $7$, mais aussi beaucoup d'autres auxquels vous ne penseriez peut-être pas immédiatement, comme $47$ et $97$.

Voici une liste de nombres premiers entre $1$ et $100$ :

$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$.

Veuillez noter que $2$ est le seul nombre pair de cette liste, ce qui en fait un cas particulier dans le monde des nombres premiers. Tous les autres nombres premiers sont impairs.

Comment savoir si un nombre est premier

Il ne semble pas y avoir quoi que ce soit de compliqué à déterminer si un nombre est premier – jusqu'à ce que vous voyiez comment le faire. Un nombre supérieur à $1$ qui ne peut être divisé que par $1$ et par lui-même est un nombre premier. La chose la plus simple à faire, bien sûr, est de voir si vous pouvez le diviser par d'autres nombres. Félicitations ! Si aucun des nombres plus petits ne divise de manière égale. Le nombre est premier.

Par exemple, prenons $29$.

Ou, vous pouvez essayer de le diviser par $2$, $3$, $4$, $5$, et ainsi de suite. Puisque aucun de ces nombres ne divise $29$ sans laisser de reste, $29$ est un nombre premier.

Et d'autres méthodes plus sophistiquées pour les tests de primalité aussi. Il existe une méthode connue sous le nom de division par essais, qui consiste à diviser un nombre par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée. Dans ce cas, si aucun de ces nombres premiers ne divise le nombre, il est premier.

Nombres Premiers Vs Nombres Composés

Il est important de connaître la différence entre les nombres premiers et les nombres composés. Les nombres premiers, comme nous l'avons mentionné plus tôt, ont exactement deux diviseurs : $1$ et le nombre lui-même. Ce sont cependant les seuls nombres qui auraient plus de deux diviseurs. Vous pouvez le diviser par des nombres plus petits et obtenir un produit. Comparons donc les nombres $5$ et $4$. Le nombre de nombres premiers dans le nombre $5$ est que $1$ et $5$ le divisent. Cependant, $4$ est un nombre composé car il peut également être divisé par $2$ et $4$. C'est cette distinction qui aide à définir la théorie des nombres. Les nombres premiers sont uniques en ce sens qu'ils ne peuvent pas être décomposés davantage. Les nombres composés, en revanche, peuvent être factorisés en nombres premiers plus petits. Par exemple, le nombre $12$ est un nombre composé, qui peut être factorisé en $2 × 2 × 3$, qui sont tous des nombres premiers.

Exemples Résolus de Nombres Premiers

Pour saisir le concept de nombres premiers, il est utile de travailler à travers quelques exemples. Abordons quelques types de problèmes différents qui testent votre compréhension des nombres premiers de diverses manières.

Identification de Nombres Premiers de Base

Question : Le nombre $37$ est-il un nombre premier ? Solution : Pour déterminer si $37$ est un nombre premier, nous devons vérifier s'il n'a que deux facteurs : $1$ et $37$ lui-même. Essayez de diviser $37$ par des nombres plus petits comme $2$, $3$, $5$, et ainsi de suite. Aucun d'eux ne divise $37$ de manière égale, ce qui signifie qu'il ne peut pas être factorisé par d'autres nombres que $1$ et $37$. Par conséquent, $37$ est un nombre premier.

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Trouver des nombres premiers dans une plage

Question : Combien de nombres premiers y a-t-il entre $50$ et $70$ ?

Solution : Pour résoudre cela, vérifions chaque nombre entre $50$ et $70$ :

• $51$ est divisible par $3$ (composé)
• $53$ est seulement divisible par $1$ et $53$ (premier)
• $55$ est divisible par $5$ (composé)
• $57$ est divisible par $3$ (composé)
• $59$ est seulement divisible par $1$ et $59$ (premier)
• $61$ est seulement divisible par $1$ et $61$ (premier)
• $63$ est divisible par $3$ (composé)
• $65$ est divisible par $5$ (composé)
• $67$ est seulement divisible par $1$ et $67$ (premier)
• $69$ est divisible par $3$ (composé)

Donc, les nombres premiers entre $50$ et $70$ sont $53$, $59$, $61$, et $67$. Cela nous donne un total de 4 nombres premiers.

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Comparaison entre Nombres Composés et Nombres Premiers

Question : Est-ce que $45$ est un nombre premier ou un nombre composé ?

Solution : Pour qu'un nombre soit premier, il ne doit avoir que deux facteurs : $1$ et lui-même. Vérifions $45$. Il peut être divisé par $1$, $3$, $5$, $9$, $15$, et $45$, ce qui signifie qu'il a plus de deux facteurs. Puisque $45$ a plusieurs diviseurs, c'est un nombre composé.

Réponse de Mathos AI :

En pratiquant ces exemples, vous verrez que l'identification des nombres premiers consiste à vérifier combien de diviseurs un nombre a et à s'assurer qu'il n'est divisible que par $1$ et lui-même.

Prêt à maîtriser les nombres premiers ?

À ce stade, vous devriez avoir une compréhension beaucoup plus claire des nombres premiers : ce qu'ils sont, comment les identifier et pourquoi ils sont si importants en mathématiques. Il est normal de se sentir encore un peu incertain, surtout lorsqu'il s'agit de différencier les nombres premiers des nombres composés. Je suis passé par là aussi ! Mais croyez-moi, avec un peu de pratique, les nombres premiers auront bientôt un sens parfait, et vous les repérerez facilement.

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