Trigonométrie Simplifiée : Signification, Formules, Identités et Exemple

Trigonometry semble intense, n'est-ce pas ? Même le nom dans son abréviation la plus simple ressemble à l'affirmation – C'est des mathématiques sérieuses. Mais attendez ! Une fois que vous avez compris les bases, la trigonométrie est moins intimidante qu'elle n'en a l'air. Au cœur de la trigonométrie, il s'agit simplement de triangles et des relations entre leurs angles et côtés. Avec la trigonométrie, nous pouvons déterminer les parties inconnues d'un triangle tant que nous avons suffisamment d'informations connues. Vous êtes intéressé à savoir sous quel angle vous pouvez réaliser le meilleur tir au basket ? Peut-être vous êtes-vous demandé comment les géomètres déterminent la hauteur d'une montagne. C'est toute la trigonométrie en action !

Encore mieux, nous avons maintenant des outils avancés, comme le calculateur de trigonométrie de Mathos AI, pour rendre ces calculs faciles. Alors, plongeons, explorons les bases de la trigonométrie et voyons comment ces techniques anciennes se connectent au monde moderne.

Qu'est-ce que la trigonométrie ?

"Le terme "trigonometry" provient de deux mots grecs : l'origine du terme ; le mot "trigonon", qui se traduit par "triangle", et "metron", qui se traduit par "mesure". Au cœur de la trigonométrie, il s'agit de mesurer les angles et les côtés des triangles. Pour les étudiants et les professionnels, la trigonométrie est un outil puissant qui relie la géométrie à l'algèbre. Avec la trigonométrie, vous pouvez trouver des côtés et des angles inconnus, même si c'est tout ce qui vous est donné en termes d'indices. Historiquement, la trigonométrie a émergé dans la Grèce antique comme un moyen de comprendre les cieux. Pour les Grecs, elle était utilisée en mathématiques pour déterminer les positions des étoiles. En Inde, les mathématiciens ont développé des tables précoces de rapports trigonométriques, posant les bases de la trigonométrie moderne. En bref, la trigonométrie évolue depuis des siècles et aujourd'hui, elle sert de fondement aux mathématiques, aux sciences et à l'ingénierie.

Les Origines de la Trigonométrie

La trigonométrie peut sembler être un enchevêtrement d'origines mystérieuses et de débats sur qui l'a vraiment inventée. Alors décomposons cela en termes simples pour ceux qui se sont toujours demandé, qui est le véritable fondateur de la trigonométrie ? ou Les civilisations anciennes comme les Égyptiens connaissaient-elles vraiment la trigonométrie ?

Qui a Inventé la Trigonométrie ?

"Identifier l'inventeur exact de la trigonométrie est délicat car ses racines s'étendent à différentes régions et époques. Cependant, la réponse la plus largement acceptée est Hipparque de Nicée, qui a vécu vers 161-127 av. J.-C. Connu comme le "Père de la Trigonométrie", Hipparque a créé les premières tables trigonométriques, se concentrant sur les cordes d'un cercle. Même si son travail réel a été perdu au fil du temps, les historiens croient qu'il a écrit environ douze livres remplis de calculs de cordes. En déterminant la longueur de la corde sous-tendue par un angle donné, il a posé les premières bases des fonctions trigonométriques.

Mais n'oublions pas les Babyloniens, qui jouaient déjà avec les angles bien avant Hipparque. Ils ont été les premiers à diviser un cercle en 360 degrés — un nombre qu'ils ont choisi parce que leur calendrier comptait environ 360 jours. C'est aussi pourquoi nous utilisons des degrés dans les mesures aujourd'hui. Fait intéressant, ils utilisaient quelque chose comme un rapporteur pour mesurer les positions des étoiles bien avant que la trigonométrie ne devienne une branche des mathématiques.

Les anciens Égyptiens connaissaient-ils la trigonométrie ?

Étonnamment, l'histoire de la trigonométrie ne commence pas avec les Grecs ou les Babyloniens. Des indices précoces de "proto-trigonometry" remontent à l'Égypte ancienne, vers 1850 avant notre ère. Un ancien rouleau de papyrus décrit comment ils utilisaient des techniques mathématiques pour construire les grandes pyramides. Maintenant, avaient-ils des fonctions trigonométriques telles que nous les connaissons ? Pas exactement. Ils appliquaient des concepts mathématiques de base pour s'assurer que leurs merveilles architecturales restaient debout et droites, mais ils ne voyaient pas nécessairement la trigonométrie comme une science à part entière. Leurs calculs étaient davantage axés sur la construction correcte des choses, et non sur la résolution de problèmes mathématiques pour le plaisir.

La trigonométrie se répand à travers le monde

Alors que les Grecs ont porté la trigonométrie à de nouveaux sommets, c'est l'âge d'or islamique qui l'a véritablement fait prospérer. Le Coran n'a pas inventé la trigonométrie, mais les érudits des civilisations islamiques l'ont affinée et élargie. Des mathématiciens comme Nasir al-Din al-Tusi au XIIIe siècle ont fait de la trigonométrie une discipline à part entière, distincte de l'astronomie. Si quelqu'un pouvait être appelé le "père de la trigonométrie en Islam", ce serait lui. Il était connu pour l'avoir transformée en un domaine plus structuré, menant à des avancées qui allaient plus tard façonner les mathématiques modernes.Avançons jusqu'au 15ème siècle, et nous voyons Jamshīd al-Kāshī faire des vagues avec ses contributions. Il a été le premier à énoncer clairement la loi des cosinus, qui est essentielle pour résoudre les triangles. Son travail a aidé à faire passer la trigonométrie au-delà des cercles et des angles vers des applications pratiques comme la navigation et la triangulation.

Alors, qui a inventé la trigonométrie ? La réponse est un effort collectif à travers les siècles et les civilisations. Des premières mesures des Égyptiens et des Babyloniens aux théories mathématiques détaillées des Grecs et aux méthodes raffinées des érudits islamiques, la trigonométrie est le résultat de la curiosité humaine partagée.

FAQ sur les origines de la trigonométrie

• Qui est le véritable fondateur de la trigonométrie ?
  • Bien que beaucoup aient contribué, Hipparchus de Nicée est généralement crédité comme le père de la trigonométrie en raison de son développement des premières tables trigonométriques.
• Le Coran a-t-il inventé la trigonométrie ?
  • Non, mais les érudits de l'âge d'or islamique ont fait des avancées significatives dans le domaine, le transformant en une branche de mathématiques bien définie.
• Qui a d'abord inventé la trigonométrie ?
  • Cela a commencé avec des civilisations anciennes comme les Babyloniens, mais ce sont les Grecs, en particulier Hipparchus, qui l'ont véritablement établi comme une discipline mathématique.
• Qui est le père de la trigonométrie en Islam ?
  • Nasir al-Din al-Tusi est souvent crédité d'avoir élevé la trigonométrie à un sujet autonome, la séparant de l'astronomie.

Fonctions trigonométriques que vous devez connaître

La trigonométrie est la belle chose qui fonctionne comme la formule cachée des mathématiques. Plutôt que de mesurer ces caractéristiques, nous utilisons les fonctions sinus, cosinus et tangente pour apprendre sur les côtés et les angles d'un triangle rectangle sans réellement utiliser un outil de mesure.

Les Trois Grands : Sinus, Cosinus et Tangente

• Sinus ($sin$) : Le sinus d'un angle est défini comme le rapport du côté opposé à l'angle divisé par le côté opposé à l'angle droit du triangle. Pensez-y de cette manière : si vous êtes à un sommet de la figure triangulaire, alors le sinus vous révèle à quelle distance se trouve l'autre sommet par rapport à l'hypoténuse.
• Cosinus ($cos$) : Le cosinus compare la longueur de la transversale immédiatement plus petite, le côté adjacent, à l'hypoténuse. Certaines personnes le considèrent simplement comme le voisin d'à côté.
• Tangente ($tan$) : La tangente concerne la comparaison du côté opposé avec le côté adjacent du triangle rectangle. Et si le sinus et le cosinus ne suffisent pas, alors vient la tangente pour rendre les choses encore plus compliquées en divisant ces deux rapports.

Au-delà des fonctions de base, il existe trois rapports supplémentaires : vous êtes également introduit aux fonctions trigonométriques réciproques, y compris ; co-tangente ($cot$), sécante ($sec$) et cosécante ($csc$). Ce sont des fonctions moins utilisées, mais significatives et sont simplement les réciproques de la tangente, du cosinus et du sinus, respectivement. Bien qu'elles ne soient pas des opérations quotidiennes pour les enfants du lycée, elles s'avèrent utiles dans les questions de trigonométrie à un niveau élevé.

Identités Trigonometriques

Maintenant, parlons des identités trigonométriques. Ce sont des formules qui impliquent de relier une ou plusieurs fonctions trigonométriques de manière à simplifier une expression ou à fournir une solution à une certaine équation. Par exemple :

• L'identité Pythagoricienne : Cela stipule que $sin^2(x)+cos^2(x)=1$. Cette identité aide à vérifier ou à simplifier des expressions trigonométriques.
• Identités Réciproques : Celles-ci incluent des expressions comme $sin(x)=1/csc(x)$, nous permettant de passer facilement d'une fonction trigonométrique à une autre.
• Identités de Somme et de Différence d'Angles : Ces identités aident à calculer le sinus, le cosinus ou la tangente de la somme ou de la différence de deux angles, comme $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$.

Avec les identités trigonométriques, vous pouvez réécrire et simplifier des formules trigonométriques, ce qui facilite la résolution d'équations.

Comment faire de la trigonométrie avec une calculatrice trigonométrique ?

Une calculatrice trigonométrique comme celle de Mathos AI peut vous aider à trouver les valeurs de sinus, cosinus et tangente pour n'importe quel angle, à résoudre pour des côtés manquants, et plus encore. En effectuant juste quelques entrées simples, vous pouvez obtenir des réponses à n'importe quel problème concernant les triangles rectangles en plus de solutions détaillées et entièrement expliquées. Pour mieux expliquer cela, parcourons une question de trigonométrie qui pourrait figurer sur un test de mathématiques de classe 10.

Questions Requises pour l'Examen de Trigonométrie au Lycée

Senior High Math League 2001 : Donnez la valeur exacte pour chacune des suivantes où l'angle est donné en radians :

(a) $\cos \left(\frac{19 \pi}{4}\right)$; (b) $\cot \left(\frac{-5 \pi}{3}\right)$

Points clés : Évalue la capacité à trouver des valeurs exactes des fonctions trigonométriques, telles que le cosinus et le cotangente, pour des angles donnés en radians.

Réponse de Mathos AI :

Questions requises pour l'examen de trigonométrie au collège

Test des fonctions trigonométriques du College of the Ozarks 2010 : Quelle est la plage de la fonction cosinus ?

(a) tous les nombres réels supérieurs ou égaux à $0$;

(b) tous les nombres réels supérieurs ou égaux à $1$ ou inférieurs ou égaux à $-1$;

(c) tous les nombres réels de $-1$ à $1$, inclus;

(d) tous les nombres réels;

Point clé : Teste les connaissances sur la gamme des fonctions trigonométriques, en particulier la fonction cosinus. Nécessite une compréhension du comportement et des limites des valeurs du cosinus sur la droite des nombres réels.

Réponse de Mathos AI :

Question de trigonométrie requise pour le SAT

Dans le triangle LMN, LM est perpendiculaire à MN. Dans ce cas, quelle est la valeur de $cosN$ ?

Points clés : Teste la compréhension des relations entre la tangente et le cosinus dans les triangles rectangles et les angles complémentaires.

Réponse de Mathos AI :

Dites "Au revoir" aux problèmes de trigonométrie avec un peu d'aide de l'IA

La trigonométrie ne doit pas sembler être un mystère enveloppé dans un triangle. Avec les outils intelligents de Mathos AI—comme notre calculatrice mathématique gratuite, calculatrice graphique, et solveur mathématique AI—vous aurez toute l'aide dont vous avez besoin pour résoudre des questions de dérivées, des questions de séries de Taylor, des questions mathématiques faciles "comment ajouter des fractions" et bien plus encore. Que vous soyez bloqué sur un problème de trigonométrie, que vous ayez besoin d'un aide aux devoirs PDF où vous pouvez télécharger vos devoirs (en pdf) en les entourant, vous obtiendrez une solution instantanée avec des explications détaillées, ou que vous souhaitiez simplement poser des questions mathématiques à tout moment, nous avons ce qu'il vous faut. Pourquoi essayer de résoudre des angles et des équations de manière indépendante alors que Mathos AI contient des solutions écrites et audio pour tout ? Il vous suffit de taper votre fonction trigonométrique ou votre angle dans la Calculatrice de Trigonométrie Mathos AI et en un clin d'œil, elle fournit la solution étape par étape avec une option pour développer les résultats et consulter des ressources utiles de vidéos/pages web.

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