Flashcards sur les fonctions polynomiales : zéros et graphes

Question 1

Qu’est-ce qu’une fonction polynomiale $f(x)$ ?

Accepted Answer

Une fonction de la forme $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$ où $n$ est un entier naturel (ou nul), $a_n
eq 0$, et les coefficients $a_i$ sont des nombres réels.

Question 2

Qu’est-ce que la multiplicité d’un zéro, et quel effet a-t-elle sur le graphe à cette intersection ?

Accepted Answer

Si $(x-c)^m$ est un facteur et si $m\ge 1$ est le plus grand possible, alors $c$ a pour multiplicité $m$. $m$ impair : le graphe coupe l’axe des $x$ ; $m$ pair : le graphe touche/rebondit sur l’axe des $x$ (plus $m$ est grand, plus le graphe a tendance à être « aplati »).

Question 3

Énoncez le théorème des facteurs et expliquez comment il aide à tracer des polynômes.

Accepted Answer

Théorème des facteurs : $(x-c)$ est un facteur de $f(x)$ ssi $f(c)=0$. Pour le tracé : utiliser les zéros réels (et leurs multiplicités) pour placer et décrire les intersections avec l’axe des $x$, utiliser $f(0)$ pour l’ordonnée à l’origine, et utiliser le comportement aux extrémités donné par le terme dominant pour esquisser la forme globale.

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