Flashcards sur les équations différentielles du 1er ordre

Question 1

Qu’est-ce qu’une équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre ?

Accepted Answer

Une équation reliant une fonction inconnue $y(x)$ et sa dérivée première $y'$, de la forme $F(x,y,y')=0$ (ou résolue sous la forme $y'=f(x,y)$).

Question 2

Donnez la formule du facteur intégrant pour $y' + P(x)y = Q(x)$.

Accepted Answer

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$ Multiplier l’EDO par $\mu$ transforme le membre de gauche en $(\mu y)'.$

Question 3

Comment tester l’exactitude et résoudre $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0$ lorsqu’elle est exacte ?

Accepted Answer

Test : $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$$ Si elle est exacte, trouver $\psi$ telle que $\psi_x=M$ en intégrant par rapport à $x$ : $\psi=\int M\,dx + g(y)$, puis utiliser $\psi_y=N$ pour déterminer $g(y)$. La solution est $\psi(x,y)=C$.

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