Flashcards zu Taylor- und Maclaurin-Reihen

Question 1

Was ist eine Potenzreihe mit Zentrum bei $a$?

Accepted Answer

Eine unendliche Reihe der Form $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,$$ wobei $c_n$ Konstanten sind und $a$ das Zentrum ist.

Question 2

Gib die Maclaurin-Reihe für $\cos x$ an.

Accepted Answer

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ (konvergiert für alle $x$).

Question 3

Verwende das Quotientenkriterium, um den Konvergenzradius von $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ zu bestimmen.

Accepted Answer

Sei $a_n=\frac{(x-2)^n}{n}$. Dann $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight|=\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(x-2)^n}ight|=|x-2|\cdot\frac{n}{n+1}	o |x-2|.$$ Konvergiert, falls $|x-2|<1$, also $R=1$.

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