Flashcards zu Polynomfunktionen: Nullstellen bis Graphen

Question 1

Was ist eine Polynomfunktion $f(x)$?

Accepted Answer

Eine Funktion der Form $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$ wobei $n$ eine nichtnegative ganze Zahl ist, $a_n
eq 0$ gilt und die Koeffizienten $a_i$ reelle Zahlen sind.

Question 2

Was ist die Vielfachheit einer Nullstelle und wie beeinflusst sie den Graphen an diesem Schnittpunkt?

Accepted Answer

Wenn $(x-c)^m$ ein Faktor ist und $m\ge 1$ maximal ist, dann hat $c$ die Vielfachheit $m$. Ungerades $m$: Der Graph schneidet die $x$-Achse; gerades $m$: Der Graph berührt die $x$-Achse und prallt ab (bei größerem $m$ wirkt der Graph tendenziell flacher).

Question 3

Formuliere den Faktorensatz und erkläre, wie er beim Zeichnen von Polynomgraphen hilft.

Accepted Answer

Faktorensatz: $(x-c)$ ist ein Faktor von $f(x)$ genau dann, wenn $f(c)=0$. Zum Zeichnen: Nutze reelle Nullstellen (und Vielfachheiten), um die $x$-Achsenabschnitte zu bestimmen und zu beschreiben, nutze $f(0)$ für den $y$-Achsenabschnitt und nutze das Endverhalten aus dem führenden Term, um die grobe Form zu skizzieren.

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