Flashcards zu Differentialgleichungen 1. Ordnung

Question 1

Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung?

Accepted Answer

Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion $y(x)$ und ihre erste Ableitung $y'$ verknüpft, von der Form $F(x,y,y')=0$ (oder aufgelöst als $y'=f(x,y)$).

Question 2

Gib die Formel für den integrierenden Faktor für $y' + P(x)y = Q(x)$ an.

Accepted Answer

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$ Multipliziert man die DGL mit $\mu$, wird die linke Seite zu $(\mu y)'.$

Question 3

Wie prüft man die Exaktheit und löst $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0$, wenn es exakt ist?

Accepted Answer

Test: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$$ Falls exakt, finde $\psi$ mit $\psi_x=M$ durch Integrieren nach $x$: $\psi=\int M\,dx + g(y)$, und nutze dann $\psi_y=N$, um $g(y)$ zu bestimmen. Die Lösung ist $\psi(x,y)=C$.

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