معادلات تفاضلية من الرتبة الثانية — بطاقات تعليمية

Question 1

ما هي المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية بصيغتها القياسية؟

Accepted Answer

هي معادلة على الصورة $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$، حيث إن $p,q,g$ دوال معلومة في $x$ و$y$ هي الدالة المجهولة.

Question 2

ما هي المعادلة المميِّزة للمعادلة $ay''+by'+cy=0$ ذات معاملات ثابتة؟

Accepted Answer

بافتراض $y=e^{rx}$ نحصل على المعادلة المميِّزة $$ar^2+br+c=0,$$ حيث إن $r$ هو معدل النمو/الاضمحلال الأُسّي.

Question 3

اذكر صيغ تغيير المعلمات لإيجاد حل خاص للمعادلة $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ عند معرفة $y_1,y_2$.

Accepted Answer

مع حلول أساسية $y_1,y_2$ والورنِسكي $W=y_1y_2'-y_2y_1'$، نضع $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ حيث
$$u_1'=-\frac{y_2\,g(x)}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1\,g(x)}{W}.$$

أتقن الرياضيات مع الذكاء الاصطناعي